2013-山东卷文-22 解-椭圆面积与向量比

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于中点弦双线性条件、叉积表面积的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C$ 的中心在原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，短轴长为 $2$，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1)求椭圆 $C$ 的方程;

(2)$A$，$B$ 为椭圆 $C$ 上满足 $△AOB$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ 的任意两点，$E$ 为线段 $AB$ 的中点，射线 $OE$ 交椭圆 $C$ 于点 $P$. 设 $\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{OE}$，求实数 $t$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. (1) $2b=2$、$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ → $a^2=2$，$b=1$：$C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$。
2. (2) 设 $E=(m,n)$，$A=E+v$，$B=E-v$：中点弦条件 $m{v}_1+2n{v}_2=0$；$S=|m{v}_2-n{v}_1|=\frac{\sqrt{6}}{4}$。
3. 取 $v=k(-2n,m)$：$S=2kQ(E)=\frac{\sqrt{6}}{4}$；$Q(v)=1-Q(E)$ → $16Q^2-16Q+3=0$。
4. $Q(E)=\frac{1}{4}$ 或 $\frac{3}{4}$；$t^2=\frac{1}{Q(E)}$ → $t=2$ 或 $t=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{2}+y^2=1$；(2) $t=2$ 或 $t=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）。由短轴长为 $2$ 得 $b=1$；由 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得 $e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{1}{2}$，即 $a^2=2b^2=2$。 所以 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1.$ (2) 设 $E=(m,n)$，$\overrightarrow{EA}=v=(v_1,v_2)$，则 $A=E+v$，$B=E-v$，记 $Q(x,y)=\frac{x^2}{2}+y^2$。 由 $A$、$B$ 在椭圆上：$Q(E+v)=Q(E-v)=1$，两式相减得中点弦条件 $m{v}_1+2n{v}_2=0,$ 两式相加得 $Q(E)+Q(v)=1$，即 $Q(v)=1-Q(E)$，其中 $Q(E)=\frac{m^2}{2}+n^2$。 由 $m{v}_1+2n{v}_2=0$，可设 $v=k(-2n,m)$（$k\ne 0$），则 $S_{△AOB}=|\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}|=|E\times v|=|m\cdot km-n\cdot (-2nk)|=k\left(m^2+2n^2\right)=2kQ(E)=\frac{\sqrt{6}}{4},$ 所以 $k=\frac{\sqrt{6}}{8Q(E)}$。 又 $Q(v)=k^2\left(\frac{4n^2}{2}+m^2\right)=k^2\left(m^2+2n^2\right)=2k^{2}Q(E)=1-Q(E)$。 代入 $k$： $2\cdot \frac{6}{64Q^2}\cdot Q=1-Q⟹\frac{3}{16Q}=1-Q⟹16Q^2-16Q+3=0.$ 解得 $Q(E)=\frac{1}{4}$ 或 $Q(E)=\frac{3}{4}$（两解均可由适当的 $A$、$B$ 实现）。 由 $\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{OE}$ 且 $P$ 在 $C$ 上：$Q(tE)=t^{2}Q(E)=1$，所以 $t^2=\frac{1}{Q(E)}=4\text{或}\frac{4}{3}.$ 又 $P$ 在射线 $OE$ 上，$t>0$，故 $t=2\text{或}t=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆中的面积与向量参数

核心方法：$C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$；设 $E=(m,n)$、$A=E+v$、$B=E-v$：$m{v}_1+2n{v}_2=0$、$S=|E\times v|=\frac{\sqrt{6}}{4}$、$Q(v)=1-Q(E)$ → $16Q^2-16Q+3=0$ → $t^2=\frac{1}{Q}=4$ 或 $\frac{4}{3}$

避坑指南：中点弦条件是 $E^{T}Mv=0$（$Q=x^2/2+y^2$ 的双线性形式），面积是 $|E\times v|$，$P=tE$ 在椭圆上给 $t^{2}Q(E)=1$——三个方程三个未知（$Q(E)$ 全部消去方向），解出 $Q(E)=\frac{1}{4}$ 或 $\frac{3}{4}$，对应 $t=2$ 或 $t=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；两个值都要保留（合集短答案漏了 $t=2$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的标准方程与中点弦、面积综合（山东卷压轴）。

结论推广：$\frac{x^2}{2}+y^2=1$；中点弦：$A=E+v$，$B=E-v$ 在椭圆上 ⟺ $m{v}_1+2n{v}_2=0$（$E=(m,n)$）；$S_{△AOB}=|E\times v|$；$P=tE$ 在椭圆上 ⟺ $t^{2}Q(E)=1$，$Q(E)=\frac{m^2}{2}+n^2$。

方法推广：统一参量法：把弦中点、半弦向量、面积全部化成 $E$ 与 $v$ 的代数关系 → 消去方向只留 $Q(E)$ → 解二次方程得两解；注意检验两解均可达，漏解是本题最大陷阱。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-21 解-椭圆与圆的公切线
• 2014-北京卷文-19 解-椭圆与垂直