2013-新课标I卷理-08 单-由三视图还原几何体

本题导读

本题考查三视图，以及由三视图还原几何体。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

A. $16+8\pi$　　　　B. $8+8\pi$　　　　C. $16+16\pi$　　　　D. $8+16\pi$

🔍【思路分析】

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1. 还原几何体结构：
   • 观察正视图：上方为一个长方形，下方为一个半圆。
   • 观察侧视图：呈现一个“L”型结构，表示上下两部分在深度方向上有所不同。
   • 观察俯视图：为一个大长方形，中间有一条分界线。
   • 综合判定：该几何体是由上部的长方体和下部的半圆柱（横放）组成的组合体。
2. 确定几何尺寸：
   • 长方体：根据三视图对应关系，其长为 4，宽为 2，高为 2。
   • 半圆柱：其底面半圆的直径为 4（半径 $r=2$），圆柱的高（长度）为 4。
3. 计算体积：
   • 总体积 = 长方体体积 + 半圆柱体积。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract


第一步：几何体还原与尺寸确定 由三视图可知，该几何体是一个组合体：

• 上部是一个长方体：
  • 长度（左右）：对应正视图和俯视图的宽度，为 4。
  • 宽度（前后）：对应侧视图上部的宽度，为 2。
  • 高度（上下）：对应正视图上部长方形的高度，为 2。
• 下部是一个半圆柱：
  • 结构：轴线呈水平方向放置。
  • 底面：半径 $r=2$（正视图下方半圆直径为 4）。
  • 长度（高度）：对应俯视图的纵向深度，为 4。

第二步：计算各部分体积

1. 长方体的体积 $V_1$： $V_1=\text{长}\times \text{宽}\times \text{高}=4\times 2\times 2=16$
2. 半圆柱的体积 $V_2$： $V_2=\frac{1}{2}\times \pi r^2\times h=\frac{1}{2}\times \pi \times 2^2\times 4=8\pi$

第三步：求总和得出结论 $V_{\text{总}}=V_1+V_2=16+8\pi$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图的投影规律（长对正、高平齐、宽相等）以及柱体体积公式 $V=Sh$。

核心方法：分割求和法。将复杂的组合体拆解为基本几何体（长方体和半圆柱）是解决此类问题的标准程序。

避坑指南：- 侧视图中的折线表示两部分在空间深度上的错位，还原时需仔细核对各段对应的长度。 - 确保圆柱的半径计算正确（直径为 4，半径为 2），且不要忘记它是“半个”圆柱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆柱的侧面积、空间点线面的位置关系。

结论推广：若题目要求该几何体的表面积，需格外注意两几何体衔接面的隐藏部分，长方体的底面和半圆柱的上平面有一部分是重合的。

方法推广：由三视图找原图时，可以先画出一个长方体作为基准，然后在内部根据投影进行切削或组合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-09 单-三视图
• 2015-新课标II卷文-06 单-三视图
• 2015-新课标I卷文-11 单-三视图