2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理

本题导读

本题是解三角形的综合应用题。通过正弦定理进行边角转化确定内角 $A$ 的大小，再结合余弦定理与基本不等式限定边长的乘积，最终求得面积的最大值。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 已知 $a,b,c$ 分别为 $△ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 的对边，$a=2$ 且 $(2+b)(\sin A-\sin B)=(c-b)\sin C$，则 $△ABC$ 面积的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 边角转化：利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，将已知等式中的正弦值全部替换为边长。
2. 化简求角：整理得到关于 $a,b,c$ 的等式，结合 $a=2$ 利用余弦定理 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 求出 $\angle A$。
3. 建立面积函数：利用面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$。
4. 求解最值：由余弦定理变形得到 $b^2+c^2-bc=4$，利用基本不等式 $b^2+c^2\ge 2bc$ 找到 $bc$ 的取值范围，从而确定面积最大值。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用正弦定理进行边角转化 由正弦定理，可设 $\sin A=ka,\sin B=kb,\sin C=kc$。代入已知条件： $(2+b)(ka-kb)=(c-b)kc$ 消去 $k$ 得： $(2+b)(a-b)=(c-b)c$ 展开整理： $2a-2b+ab-b^2=c^2-bc$

第二步：结合 $a=2$ 化简 将 $a=2$ 代入上式： $2(2)-2b+2b-b^2=c^2-bc$ $4-b^2=c^2-bc⟹b^2+c^2-a^2=bc$ （注意这里 $a^2=4$）

第三步：求内角 $A$ 根据余弦定理： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$ 由于 $A\in (0,\pi )$，所以 $A=\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$。

第四步：利用基本不等式求 $bc$ 的最大值 由 $b^2+c^2-bc=4$ 及基本不等式 $b^2+c^2\ge 2bc$ 可得： $4+bc=b^2+c^2\ge 2bc$ 解得 $bc\le 4$（当且仅当 $b=c=2$ 时取等号，此时为等边三角形）。

第五步：求面积最大值 三角形面积 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}bc\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}bc$。 当 $bc$ 取最大值 $4$ 时： $S_{max}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 4=\sqrt{3}$

故答案为 $\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、余弦定理的综合运用，以及基本不等式在几何最值中的角色。 2. 解题技巧：题目中出现“角、边、正弦”混杂时，“边角统一”（通常化角为边）是第一优先级的尝试路径。 3. 易错提醒：在利用基本不等式时，务必检查等号成立的条件（即 $b=c$）是否在三角形的定义域内。

2. 核心方法：正弦定理边角统一，余弦定理求角，再用基本不等式求 $bc$ 最值。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 海伦公式、三角形中的射影定理、辅助角公式。

2. 结论推广: 在内角 $A$ 固定且对边 $a$ 固定的三角形中，当 $b=c$ 时（等腰三角形），面积 $S$ 取得最大值，且外接圆半径 $R$ 恒定。

3. 方法推广: 涉及三角形面积的最值问题，通常转化为求两边乘积 $bc$ 的范围，或转化为关于某个角的三角函数最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理
• 2014-湖北卷文-13 填-正弦定理
• 2014-江西卷文-05 单-正弦定理