2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质

本题导读

本题是解析几何综合大题。第一问考查椭圆基本参数 $a,b,c$ 的求解；第二问考查直线与椭圆相交产生的面积最值问题。核心在于建立面积关于直线斜率 $k$ 的函数，并通过换元结合基本不等式寻找最值。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 已知点 $A(0,-2)$，椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，$F$ 是椭圆的右焦点，直线 $AF$ 的斜率为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$O$ 为坐标原点.

(1) 求 $E$ 的方程；

(2) 设过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $P,Q$ 两点，当 $△OPQ$ 的面积最大时，求 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：椭圆方程
   • 利用离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 建立 $a,c$ 关系。
   • 利用 $A(0,-2)$ 和 $F(c,0)$ 计算直线 $AF$ 的斜率 $k_{AF}=\frac{0-(-2)}{c-0}=\frac{2}{c}$。
   • 由 $\frac{2}{c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 解出 $c$，进而求得 $a,b$。
2. 第二问：面积最值
   • 设直线 $l:y=kx-2$。注意需验证直线斜率是否存在（当 $l\perp x$ 轴时与椭圆仅一个交点或不合题意）。
   • 联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表达 $|x_1-x_2|$。
   • 利用弦长公式表达 $|PQ|$。
   • 计算原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离 $d$。
   • 建立 $S_{△OPQ}=\frac{1}{2}|PQ|\cdot d$ 关于 $k$ 的表达式。
   • 通过换元 $t=\sqrt{f(k)}$ 简化式子，利用基本不等式求出面积最大时的 $k$。

✅【答案】

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第 (1) 小题：求椭圆方程；$\frac{x^2}{4}+y^2=1$；第 (2) 小题：求直线方程；$y=\frac{\sqrt{7}}{2}x-2$ 或 $y=-\frac{\sqrt{7}}{2}x-2$

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：求椭圆方程 设 $F(c,0)$。由已知条件直线 $AF$ 的斜率 $k=\frac{0-(-2)}{c-0}=\frac{2}{c}$。 则 $\frac{2}{c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}⟹c=\sqrt{3}$。 又由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得： $\frac{\sqrt{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹a=2$。 则 $b^2=a^2-c^2=4-3=1$。 故椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。

第 (2) 小题：求直线方程 可知直线 $l$ 的斜率存在且不为 $0$。设直线 $l:y=kx-2$。 联立方程：$\{\begin{array}{l}y=kx-2\\ x^2+4y^2=4\end{array}$ 整理得：$(1+4k^2)x^2-16kx+12=0$。 设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$。 由 $\Delta =(-16k{)}^2-4(1+4k^2)\cdot 12=16(4k^2-3)>0⟹k^2>\frac{3}{4}$。 由韦达定理：$x_1+x_2=\frac{16k}{1+4k^2},x_1{x}_2=\frac{12}{1+4k^2}$。 则 $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\frac{\sqrt{256k^2-48(1+4k^2)}}{1+4k^2}=\frac{4\sqrt{4k^2-3}}{1+4k^2}$。 弦长 $|PQ|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\frac{4\sqrt{1+k^2}\sqrt{4k^2-3}}{1+4k^2}$。 原点 $O$ 到直线 $l:kx-y-2=0$ 的距离 $d=\frac{2}{\sqrt{1+k^2}}$。 则 $S_{△OPQ}=\frac{1}{2}|PQ|\cdot d=\frac{1}{2}\cdot \frac{4\sqrt{1+k^2}\sqrt{4k^2-3}}{1+4k^2}\cdot \frac{2}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{4\sqrt{4k^2-3}}{1+4k^2}$。 令 $t=\sqrt{4k^2-3}>0$，则 $4k^2=t^2+3$。 代入面积公式： $S=\frac{4t}{t^2+4}=\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$ 由基本不等式 $t+\frac{4}{t}\ge 2\sqrt{t\cdot \frac{4}{t}}=4$。 当且仅当 $t=\frac{4}{t}$ 即 $t=2$ 时，面积取得最大值 $1$。 此时 $\sqrt{4k^2-3}=2⟹4k^2-3=4⟹k^2=\frac{7}{4}⟹k=\pm \frac{\sqrt{7}}{2}$。 验证：$k^2=\frac{7}{4}>\frac{3}{4}$ 满足条件。 故直线 $l$ 的方程为 $y=\frac{\sqrt{7}}{2}x-2$ 或 $y=-\frac{\sqrt{7}}{2}x-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、三角形面积最值。

2. 核心方法：联立方程用韦达定理求弦长，建立面积函数后换元配基本不等式。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 点差法（本题不适用，因为直线不过中心）、圆锥曲线的切线性质、极坐标下的面积表示。

2. 结论推广: 若直线过定点 $A(0,y_0)$，三角形 $OPQ$ 的面积最大值往往与该定点坐标和椭圆长短轴参数密切相关。

3. 方法推广: 涉及分式最值（如 $\frac{at}{b{t}^2+c}$ 型），“取倒数”配合基本不等式是最常用的处理技巧。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2013-湖北卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2013-浙江卷理-21 解-椭圆方程与性质