2014-江西卷理-01 单-共轭复数

本题导读

本题考查复数的基本概念和代数运算。通过设复数的代数形式，利用题目给出的共轭关系及等式建立方程组求出复数。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数.若 $z+\bar{z}=2$，$(z-\bar{z})i=2$（$i$ 为虚数单位），则 $z=$ ()

A. $1+i$　　　　B. $-1-i$　　　　C. $-1+i$　　　　D. $1-i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设元：设复数 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，则其共轭复数 $\bar{z}=a-bi$。
2. 列方程：将 $z$ 与 $\bar{z}$ 代入已知等式 $z+\bar{z}=2$ 和 $(z-\bar{z})i=2$。
3. 求解：利用复数运算规律 $i^2=-1$ 解出实部 $a$ 和虚部 $b$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，则其共轭复数为 $\bar{z}=a-bi$。

由 $z+\bar{z}=2$ 得： $(a+bi)+(a-bi)=2⟹2a=2⟹a=1$。

由 $(z-\bar{z})i=2$ 得： $[(a+bi)-(a-bi)]i=2⟹(2bi)i=2⟹2b{i}^2=2$。 由于 $i^2=-1$，得 $-2b=2⟹b=-1$。

所以，$z=1-i$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭复数的概念与复数代数运算。

2. 核心方法：设 $z=a+bi$，用 $z+\bar{z}=2a$、$z-\bar{z}=2bi$ 列方程求解。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 共轭复数的定义及 $z+\bar{z}=2\Re (z)$、$z-\bar{z}=2i\Im (z)$。

2. 结论推广: $z+\bar{z}=2a$，$z-\bar{z}=2bi$。

3. 方法推广: 涉及共轭复数的等式，设代数形式 $z=a+bi$ 是通用方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-山东卷文-02 单-共轭复数
• 2015-上海卷文-03 填-共轭复数
• 2014-陕西卷文-03 单-共轭复数