2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆

本题导读

(1) 面积条件定 $c=1$，再代点定 $a^2$、$b^2$；(2) 由对称性设 $P_2=(-x_1,y_1)$，垂直条件化为 $y_1^2=(x_1+1{)}^2$。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(文)） 如题(21)图，设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，点 $D$ 在椭圆上，$D{F}_1\perp F_1{F}_2$，$\frac{|F_1{F}_2|}{|D{F}_1|}=2\sqrt{2}$，$△D{F}_1{F}_2$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求该椭圆的标准方程；

(2) 是否存在圆心在 $y$ 轴上的圆，使得圆在 $x$ 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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(1) $\frac{1}{2}\cdot \frac{c}{\sqrt{2}}\cdot 2c=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得 $c=1$，$D\left(-1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 代入椭圆；(2) 垂直条件给出 $3x_1^2+4x_1=0$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{2}+y^2=1$；(2) 存在，圆的方程为 $x^2+{\left(y-\frac{5}{3}\right)}^2=\frac{32}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $|F_1{F}_2|=2c$。由 $D{F}_1\perp F_1{F}_2$ 及 $\frac{|F_1{F}_2|}{|D{F}_1|}=2\sqrt{2}$ 得 $|D{F}_1|=\frac{2c}{2\sqrt{2}}=\frac{c}{\sqrt{2}}$。 $△D{F}_1{F}_2$ 的面积为 $\frac{1}{2}\cdot |D{F}_1|\cdot |F_1{F}_2|=\frac{c^2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $c^2=1$，$c=1$。 于是 $D\left(-1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$（取 $x$ 轴上方一点）。代入椭圆方程： $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2b^2}=1$，且 $a^2=b^2+1$。 消去 $a$ 得 $\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{2b^2}=1$，去分母整理得 $2b^4-b^2-1=0$，即 $(2b^2+1)(b^2-1)=0$，故 $b^2=1$，$a^2=2$。 所以椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$。 (2) 假设存在这样的圆，设其方程为 $x^2+(y-k{)}^2=r^2$（$r>0$），与椭圆在 $x$ 轴上方的两交点为 $P_1$，$P_2$。 由圆与椭圆都关于 $y$ 轴对称、且两切线分别过不同的焦点，可设 $P_1(x_1,y_1)$，$P_2=(-x_1,y_1)$（$y_1>0$）。 两切线分别沿 $\overrightarrow{F_1{P}_1}=(x_1+1,y_1)$ 与 $\overrightarrow{F_2{P}_2}=(-x_1-1,y_1)$ 方向，垂直即 $(x_1+1)(-x_1-1)+y_1^2=0$，即 $y_1^2=(x_1+1{)}^2$。 代入椭圆方程 $x_1^2+2y_1^2=2$：$x_1^2+2(x_1+1{)}^2=2$，即 $3x_1^2+4x_1=0$，解得 $x_1=0$ 或 $x_1=-\frac{4}{3}$。 当 $x_1=0$ 时 $P_1=P_2=(0,1)$，两交点重合，不合题意，舍去。 故 $x_1=-\frac{4}{3}$，$y_1^2=\frac{1}{9}$，$y_1=\frac{1}{3}$，即 $P_1\left(-\frac{4}{3},\frac{1}{3}\right)$，$P_2\left(\frac{4}{3},\frac{1}{3}\right)$。 设圆心 $O^{\prime }(0,k)$。由切线垂直于过切点的半径，$O^{\prime }{P}_1\perp F_1{P}_1$： $\left(-\frac{4}{3},\frac{1}{3}-k\right)\cdot \left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{9}+\frac{1}{9}-\frac{k}{3}=0$，解得 $k=\frac{5}{3}$。 半径平方 $r^2={\left(\frac{4}{3}\right)}^2+{\left(\frac{5}{3}-\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{16}{9}+\frac{16}{9}=\frac{32}{9}$。 故存在满足条件的圆，其方程为 $x^2+{\left(y-\frac{5}{3}\right)}^2=\frac{32}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的标准方程与圆的切线性质

2. 核心方法：对称化设点 + 半径与切线垂直列点乘方程

3. 避坑指南：由对称性应设 $P_2=(-x_1,y_1)$（关于 $y$ 轴对称）；若误设成关于原点对称，两切线方向将平行、垂直条件无解。$x_1=0$ 给出两交点重合，必须舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、圆的切线性质。

2. 结论推广: 面积条件给 $c\cdot |D{F}_1|=\frac{c^2}{\sqrt{2}}$；“切线过焦点且两切线垂直”即 $\overrightarrow{F_1{P}_1}\cdot \overrightarrow{F_2{P}_2}=0$；“切线垂直于过切点的半径”即 $\overrightarrow{O^{\prime }{P}_1}\cdot \overrightarrow{F_1{P}_1}=0$。

3. 方法推广: 圆锥曲线中的对称问题先按对称性设点（关于坐标轴对称），把两个未知数降为一个，再联立方程逐层求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2015-重庆卷文-21 解-椭圆定义
• 2014-广东卷文-20 解-椭圆轨迹