2015-福建卷文-14 填-正弦定理

本题导读

考查正弦定理。已知两角一对边求另一边，先由内角和得 $B=60^{\circ }$，再一步代公式。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 若 $△ABC$ 中，$AC=\sqrt{3}$，$A=45^{\circ }$，$C=75^{\circ }$，则 $BC=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 内角和：$B=180^{\circ }-45^{\circ }-75^{\circ }=60^{\circ }$。
2. 正弦定理：$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$。

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由内角和定理，$B=180^{\circ }-45^{\circ }-75^{\circ }=60^{\circ }$.

由正弦定理

$BC=\frac{AC\cdot \sin A}{\sin B}=\frac{\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{2}.$

故 $BC=\sqrt{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理；三角形内角和定理。

2. 核心方法：“角和定第三角 → 正弦定理边角互化”。

3. 避坑指南：正弦定理中边与对角要对应：$BC$ 的对角是 $A$、$AC$ 的对角是 $B$，写错对应关系结果就错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解三角形是解答题与小题双向考查的高频板块，“两角夹一边”型是其中最基础的配置。

2. 结论推广: 若求 $AB$，则 $AB=\frac{AC\sin C}{\sin B}=\frac{\sqrt{3}\sin 75^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$。

3. 方法推广: 解三角形第一件事永远是”把三个角凑齐”（内角和），再选正弦或余弦定理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-12 填-正弦定理与余弦定理的综合应用