2017-全国卷III理-09 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与求和公式，以及等比中项的定义。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)）等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为 1，公差不为 0.若 $a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列，则 ${a_{n}}$ 前 6 项的和为 ()

A. $- 24$ 　　　　　　　B. $- 3$ 　　　　　　　C. $3$ 　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

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设基本量：设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ( $d \neq = 0$ )。已知 $a_{1} = 1$ 。

利用等比性质列方程：由于 $a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列，根据等比中项性质有 $a_{3}^{2} = a_{2} \cdot a_{6}$ 。

代入通项表达：将 $a_{2} = 1 + d, a_{3} = 1 + 2 d, a_{6} = 1 + 5 d$ 代入上述等式，解出 $d$ 。

计算求和：利用等差数列求和公式 $S_{n} = n a_{1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} d$ 计算 $S_{6}$ 。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：求公差 $d$ 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ 。由题意知 $a_{1} = 1$ 。则有： $a_{2} = 1 + d$ ， $a_{3} = 1 + 2 d$ ， $a_{6} = 1 + 5 d$ 。因为 $a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列，所以： $a_{3}^{2} = a_{2} \cdot a_{6}$ $(1 + 2 d)^{2} = (1 + d) (1 + 5 d)$ 展开整理得： $1 + 4 d + 4 d^{2} = 1 + 6 d + 5 d^{2}$ $d^{2} + 2 d = 0$ $d (d + 2) = 0$ 由于题干强调公差 $d \neq = 0$ ，所以 $d = - 2$ 。

第二步：计算前 6 项和 $S_{6}$ $S_{6} = 6 a_{1} + \frac{6 \times 5}{2} d$ $S_{6} = 6 \times 1 + 15 \times (- 2)$ $S_{6} = 6 - 30 = - 24$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

方程思想：数列中的基本量法（以 $a_{1}$ 和 $d$ 为核心）是解决此类问题的万能钥匙。

细节把控：题目中“公差不为 0”是关键条件，用于在二次方程中舍去不符合题意的解。

公式熟练度：求和公式有多种形式，选择包含 $a_{1}$ 和 $d$ 的这一种在本题中最为直接。

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Tip

1. 变式思考： 若题目改为 $a_{1}, a_{2}, a_{5}$ 成等比数列，结果会如何？ (计算： $(1 + d)^{2} = 1 \cdot (1 + 4 d) \Rightarrow 1 + 2 d + d^{2} = 1 + 4 d \Rightarrow d^{2} - 2 d = 0 \Rightarrow d = 2$ 。此时 $S_{6} = 6 + 15 (2) = 36$ )。

2. 知识链接：等差数列中的等比项 在公差不为 0 的等差数列中，若其中若干项成等比数列，这些项的下标通常也呈现某种特定的增长规律。

3. 易错警示： 学生容易在展开 $(1 + 2 d)^{2}$ 时漏掉中间项 $4 d$ ，或者在计算 $S_{6}$ 时记错求和公式的分母。建议在草稿纸上完整写出公式再代值。

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19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

2009-山东卷文-13 填-等差数列

2013-新课标II卷文-17 解-等差数列

2014-江西卷文-13 填-等差数列

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2017-全国卷III理-09 单-等差数列

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