2017-全国卷III理-12 单-向量

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算与基本定理，以及直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） 在矩形 $ABCD$ 中，$AB=1$，$AD=2$，动点 $P$ 在以点 $C$ 为圆心且与 $BD$ 相切的圆上.若 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AD}$，则 $\lambda +\mu$ 的最大值为 ()

A. 3　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：以 $A$ 为原点，$AD$ 所在直线为 $x$ 轴，$AB$ 所在直线为 $y$ 轴建立空间直角坐标系，将向量问题转化为坐标运算。
2. 确定圆的方程：

• 确定 $C$ 点坐标和直线 $BD$ 的方程。
• 利用点到直线的距离公式求出圆 $C$ 的半径 $R$。

3. 坐标代换：

• 设 $P(x,y)$。根据向量分解 $\overrightarrow{AP}=(2\mu ,\lambda )$，建立 $P$ 点坐标与 $\lambda ,\mu$ 的对应关系。

4. 构造目标函数：

• 利用圆的参数方程表示 $P$ 点坐标。
• 将 $\lambda +\mu$ 表示为关于参数 $\theta$ 的三角函数式，利用辅助角公式求最值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：


第一步：建立坐标系与确定基本点 以 $A$ 为原点，$AD$ 为 $x$ 轴，$AB$ 为 $y$ 轴。 则 $A(0,0),B(0,1),D(2,0),C(2,1)$。 直线 $BD$ 的截距式方程为 $\frac{x}{2}+\frac{y}{1}=1$，即 $x+2y-2=0$。

第二步：求圆 $C$ 的半径 $r$ 圆 $C$ 与 $BD$ 相切，则半径 $r$ 等于点 $C(2,1)$ 到直线 $x+2y-2=0$ 的距离： $r=\frac{|2+2(1)-2|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 圆 $C$ 的方程为：$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=\frac{4}{5}$。

第三步：建立 $\lambda ,\mu$ 与 $P$ 点坐标的关系 设 $P(x,y)$。已知 $\overrightarrow{AB}=(0,1)$，$\overrightarrow{AD}=(2,0)$。 由 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AD}$ 得： $(x,y)=\lambda (0,1)+\mu (2,0)=(2\mu ,\lambda )$ 由此得：$\mu =\frac{x}{2},\lambda =y$。 目标式 $\lambda +\mu =y+\frac{x}{2}$。

第四步：利用参数方程求最值 设 $P$ 点的参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=2+\frac{2\sqrt{5}}{5}\cos \theta \\ y=1+\frac{2\sqrt{5}}{5}\sin \theta \end{array}$ 代入目标式： $\lambda +\mu =(1+\frac{2\sqrt{5}}{5}\sin \theta )+\frac{1}{2}(2+\frac{2\sqrt{5}}{5}\cos \theta )$ $\lambda +\mu =2+\frac{2\sqrt{5}}{5}\sin \theta +\frac{\sqrt{5}}{5}\cos \theta$ 利用辅助角公式： $\lambda +\mu =2+\sqrt{(\frac{2\sqrt{5}}{5}{)}^2+(\frac{\sqrt{5}}{5}{)}^2}\sin (\theta +\varphi )$ $\lambda +\mu =2+\sqrt{\frac{20}{25}+\frac{5}{25}}\sin (\theta +\varphi )=2+1\cdot \sin (\theta +\varphi )$ 当 $\sin (\theta +\varphi )=1$ 时，$\lambda +\mu$ 取得最大值 $2+1=3$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 坐标法的威力：本题若使用纯几何向量运算（基底法）会涉及复杂的投影计算，建立坐标系能将几何位置关系直观地转化为代数方程。
• 参数方程的应用：在圆上动点求最值问题中，参数方程配合辅助角公式是极其标准且高效的处理手段。
• 距离公式的细节：计算半径时，务必准确写出直线的公一般式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 几何意义思考： $\lambda +\mu$ 可以看作是点 $P(x,y)$ 到直线 $\frac{x}{2}+y=m$ 的截距映射。最大值出现在圆 $C$ 的切线上，且该切线与直线 $\frac{x}{2}+y=0$ 平行。

2. 变式思考： 如果要求 ${\lambda }^2+{\mu }^2$ 的最值，则转化为求点 $P$ 到原点距离的平方（比例缩放后），此时利用定点到圆上动点距离的最值规律（距离圆心距离 $\pm$ 半径）即可快速求解。

3. 易错警示： 学生容易在 $\overrightarrow{AP}=(2\mu ,\lambda )$ 这一步将坐标对调，导致后续系数计算错误。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-22 解-线面垂直与向量夹角
• 1990-全国文-04 单-复数向量的旋转
• 1990-广东文-12 单-复数向量的旋转