2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积

本题导读

考查焦点三角形。$P{F}_1\perp P{F}_2$ 且面积为 $9$：$mn=2b^2$，$S=\frac{1}{2}mn=b^2=9$，$b=3$。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 已知 $F_1$，$F_2$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的两个焦点，$P$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $\overrightarrow{P{F}_1}\perp \overrightarrow{P{F}_2}$.若 $△P{F}_1{F}_2$ 的面积为 $9$，则 $b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $P{F}_1=m$，$P{F}_2=n$，则 $m+n=2a$，$m^2+n^2=4c^2$。
2. $(m+n{)}^2=4a^2=4c^2+2mn\Rightarrow mn=2(a^2-c^2)=2b^2$。
3. $S=\frac{1}{2}mn=b^2=9\Rightarrow b=3$。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

设 $|P{F}_1|=m$，$|P{F}_2|=n$。由椭圆定义 $m+n=2a$；由 $\overrightarrow{P{F}_1}\perp \overrightarrow{P{F}_2}$，$m^2+n^2=(2c{)}^2=4c^2$。 两边平方 $m+n$：$4a^2=m^2+n^2+2mn=4c^2+2mn$，所以 $mn=2(a^2-c^2)=2b^2$。 三角形面积 $S=\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}\times 2b^2=b^2=9$。 由 $b>0$，得 $b=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的焦点三角形

核心方法：定义 + 垂直条件联立

避坑指南：$mn=2b^2$ 是焦点三角形面积问题的枢纽等式：$S=\frac{1}{2}mn=b^2$，面积 $9$ 直接给出 $b=3$，全程不必求 $a$、$c$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直角焦点三角形（$\angle P=90^{\circ }$）是椭圆填空经典。

结论推广：$(m+n{)}^2=4a^2$、$m^2+n^2=4c^2$ 相减得 $mn=2b^2$。

方法推广：$S=b^2$ 与 $S=c$（双曲线版）形式相近，椭圆是 $b^2$，别混。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.07 焦点三角形专题
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形
• 2011-上海卷文-22 解-椭圆最值与参数范围
• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积