2009-四川卷文-14 填-二项式常数项

本题导读

考查二项式常数项。$k=3$ 时 $x$ 指数为 $0$，常数项 ${\mathrm{C}}_6^3(-1{)}^3=-20$。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） ${\left(2x-\frac{1}{2x}\right)}^6$ 的展开式的常数项是 $\underline{}$．（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k(2x{)}^{6-k}{\left(-\frac{1}{2x}\right)}^k={\mathrm{C}}_6^k(-1{)}^k{2}^{6-2k}{x}^{6-2k}$。
2. 令 $6-2k=0$，$k=3$。
3. 常数项 ${\mathrm{C}}_6^3(-1{)}^3\times 2^0=20\times (-1)=-20$。

✅【答案】

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$-20$

✍【详细解析】

Abstract

展开式通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k(2x{)}^{6-k}{\left(-\frac{1}{2x}\right)}^k={\mathrm{C}}_6^k(-1{)}^k{2}^{6-2k}{x}^{6-2k}.$ 令 $6-2k=0$，得 $k=3$。 常数项为 ${\mathrm{C}}_6^3(-1{)}^3\times 2^0=-20$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式常数项

核心方法：通项中令 $x$ 的指数为 $0$

避坑指南：$(2x{)}^{6-k}$ 与 ${\left(-\frac{1}{2x}\right)}^k$ 的指数分别为 $6-k$ 与 $-k$，$6-2k=0$ 得 $k=3$；符号 $(-1{)}^3=-1$ 别丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：常数项即 $x^0$ 项，令指数方程 $6-2k=0$。

结论推广：${\mathrm{C}}_6^3=20$，$2^{6-2\times 3}=2^0=1$。

方法推广：答案要求”用数字作答”：写 $-20$，负号是得分点。

🔗【关联脉络】

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