2009-四川卷文-17 解-解三角形

本题导读

考查解三角形。（1）$\cos (A+B)=\frac{6\sqrt{50}-\sqrt{50}}{50}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$A+B=\frac{\pi }{4}$；（2）$a:b=\sin A:\sin B=\sqrt{2}:1$，由 $a-b=\sqrt{2}-1$ 得 $a=\sqrt{2}$，$b=1$，$c=\sqrt{5}$。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$A,B$ 为锐角，角 $A,B,C$ 所对应的边分别为 $a,b,c$，且 $\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sin B=\frac{\sqrt{10}}{10}$.

(1)求 $A+B$ 的值；

(2)若 $a-b=\sqrt{2}-1$，求 $a,b,c$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. $A,B$ 为锐角：$\cos A=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos B=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
2. $\cos (A+B)=\frac{2\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{3\sqrt{10}}{10}-\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$A+B=\frac{\pi }{4}$。
3. 正弦定理：$\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}=\sqrt{2}$，即 $a=\sqrt{2}b$。
4. 联立 $a-b=\sqrt{2}-1$：$(\sqrt{2}-1)b=\sqrt{2}-1$，$b=1$，$a=\sqrt{2}$。
5. $C=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$，$c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\sqrt{5}$。

✅【答案】

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(1) $A+B=\frac{\pi }{4}$；(2)$a=\sqrt{2}$，$b=1$，$c=\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $A,B$ 为锐角，$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sin B=\frac{\sqrt{10}}{10}$， 所以 $\cos A=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos B=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。 $\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B=\frac{6\sqrt{50}}{50}-\frac{\sqrt{50}}{50}=\frac{5\sqrt{2}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 又 $0<A+B<\pi$，所以 $A+B=\frac{\pi }{4}$。 （2）由（1）知 $C=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$，$\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，得 $\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{\sqrt{5}/5}{\sqrt{10}/10}=\sqrt{2},\text{即 }a=\sqrt{2}b.$ 由 $a-b=\sqrt{2}-1$，得 $(\sqrt{2}-1)b=\sqrt{2}-1$，所以 $b=1$，$a=\sqrt{2}$。 $c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=\sqrt{5}.$ 综上，$a=\sqrt{2}$，$b=1$，$c=\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和公式与正弦定理

核心方法：$\cos (A+B)$ 定角；$\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}$ 定比例

避坑指南：$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ 的化简是关键计算；由 $A+B=\frac{\pi }{4}$ 得 $C=\frac{3\pi }{4}$ 再用正弦定理求 $c$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：锐角条件保证余弦取正，$\cos A=\frac{2\sqrt{5}}{5}$、$\cos B=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

结论推广：$a-b$ 与 $a=\sqrt{2}b$ 联立，$(\sqrt{2}-1)b=\sqrt{2}-1$ 两边相同结构直接约。

方法推广：$\cos (A+B)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $A+B=\frac{\pi }{4}$（$A+B\in (0,\pi )$ 唯一）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边
• 2009-大纲卷II文-18 解-解三角形求角
• 2009-山东卷文-17 解-三角变换与解三角形