2009-大纲卷I文-20 解-围棋连胜概率

本题导读

概率大题。前两局 $1:1$，再赛两局结束当且仅当同一方连胜两局；甲获胜需在后续比赛中先胜两局，按连胜或 $2:1$ 后决胜分类。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 $3$ 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为 $0.6$，乙获胜的概率为 $0.4$，各局比赛结果相互独立.已知前 $2$ 局中，甲、乙各胜 $1$ 局.

(1)求再赛 $2$ 局结束这次比赛的概率；

(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 再赛两局结束 = 甲连胜两局或乙连胜两局：$p^2+q^2=0.36+0.16=0.52$。
2. (2) 甲获胜 = 后续中甲先胜两局：连胜两局，或各胜一局后第三局胜，$p^2+2pqp=p^2+2p^{2}q$。

✅【答案】

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(1) $\frac{13}{25}$；(2)$\frac{81}{125}$

✍【详细解析】

Abstract

前 $2$ 局中甲、乙各胜 $1$ 局，记甲、乙在一局中获胜的概率分别为 $p=0.6=\frac{3}{5}$，$q=0.4=\frac{2}{5}$。

（1） 再赛 $2$ 局后比赛结束，当且仅当甲连胜 $2$ 局或乙连胜 $2$ 局。各局比赛结果相互独立，故所求概率为 $p^2+q^2={\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{2}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}+\frac{4}{25}=\frac{13}{25}.$

（2） 从第 $3$ 局起，甲先胜 $2$ 局即获胜：可能是连胜两局；或前两局一胜一负（此时比分 $2:2$）、第 $3$ 局甲胜。故 $P(\text{甲获胜})=p^2+2pq\cdot p=p^2+2p^{2}q={\left(\frac{3}{5}\right)}^2+2{\left(\frac{3}{5}\right)}^2\times \frac{2}{5}=\frac{45}{125}+\frac{36}{125}=\frac{81}{125}.$ 故甲获得这次比赛胜利的概率为 $\frac{81}{125}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件与分类加法

核心方法：连胜模型 + 分类相加

避坑指南：“再赛 2 局结束”含甲、乙两种连胜情形；甲获胜含 $3:1$ 与 $3:2$ 两类，$2p^{2}q$ 的系数 $2$ 来自”先负后胜”两个顺序。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立重复试验中的”连胜/先胜 $n$ 局”是概率解答题经典模型。

结论推广：各局独立：概率直接相乘；互斥情形：概率相加。

方法推广：比分型概率题先列完所有获胜路径，再按路径逐条计算，防止漏类。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-19 解-独立事件概率
• 2013-大纲卷文-20 解-独立事件概率
• 2014-大纲卷文-20 解-独立事件概率