2009-湖北卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角

本题导读

考查垂直与二面角。(1) $AC\perp BD$ 且 $BE$ 在底面的射影为 $BD$，三垂线定理得 $AC\perp BE$；(2) $\cot 60^{\circ }$ 建立方程得 $\lambda =\frac{\sqrt{2}}{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 如图，四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是正方形，$SD\perp$ 平面 $ABCD$，$SD=AD=a$，点 $E$ 是 $SD$ 上的点，且 $DE=\lambda a$（$0<\lambda ⩽1$）.

(1)求证：对任意的 $\lambda \in (0,1]$，都有 $AC\perp BE$；

(2)若二面角 $C-AE-D$ 的大小为 $60^{\circ }$，求 $\lambda$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 连 $BD$。底面为正方形，$AC\perp BD$；$SD\perp$ 底面，$BD$ 是 $BE$ 在底面上的射影。
2. 由三垂线定理，$AC\perp BE$，与 $\lambda$ 无关。
3. (2) 过 $D$ 在平面 $ADE$ 内作 $DF\perp AE$ 于 $F$，连 $CF$，则 $CF\perp AE$，$\angle CFD$ 为二面角 $C-AE-D$ 的平面角，等于 $60^{\circ }$。
4. $AD=a$，$DE=\lambda a$，$AE=a\sqrt{1+{\lambda }^2}$，$DF=\frac{AD\cdot DE}{AE}=\frac{\lambda a}{\sqrt{1+{\lambda }^2}}$。
5. 在 $\mathrm{Rt}△CDF$ 中 $CD=a$，$\cot 60^{\circ }=\frac{DF}{CD}=\frac{\lambda }{\sqrt{1+{\lambda }^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
6. 平方整理：$3{\lambda }^2=1+{\lambda }^2$，$\lambda =\frac{\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2)$\lambda =\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）连接 $BD$。底面 $ABCD$ 是正方形，所以 $AC\perp BD$。 因为 $SD\perp$ 平面 $ABCD$，$BD$ 是 $BE$ 在底面 $ABCD$ 上的射影。 由三垂线定理，$AC\perp BE$。此结论与 $\lambda$ 的取值无关，故对任意 $\lambda \in (0,1]$ 都成立。 （2）过点 $D$ 在平面 $ADE$ 内作 $DF\perp AE$ 于 $F$，连接 $CF$。 因 $CD\perp$ 平面 $ADE$（$CD\perp AD$，$CD\perp SD$），由三垂线定理的逆定理，$CF\perp AE$。 故 $\angle CFD$ 为二面角 $C-AE-D$ 的平面角，$\angle CFD=60^{\circ }$。 在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 中，$AD=a$，$DE=\lambda a$，$AE=\sqrt{A{D}^2+D{E}^2}=a\sqrt{1+{\lambda }^2}$， $DF=\frac{AD\cdot DE}{AE}=\frac{\lambda a}{\sqrt{1+{\lambda }^2}}$。 在 $\mathrm{Rt}△CDF$ 中，$CD=a$，$\cot \angle CFD=\frac{DF}{CD}$，即 $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\lambda }{\sqrt{1+{\lambda }^2}}$。 两边平方：$3{\lambda }^2=1+{\lambda }^2$，解得 ${\lambda }^2=\frac{1}{2}$，$\lambda =\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三垂线定理与二面角

核心方法：射影 $BD$ 垂直 + 三垂线定理；作 $DF\perp AE$ 找平面角

避坑指南：$AC\perp BD$ 且 $BD$ 是 $BE$ 的射影 $\Rightarrow AC\perp BE$；$\cot 60^{\circ }=\frac{DF}{CD}$ 给 $\lambda =\frac{\sqrt{2}}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$SD\perp$ 底面时，底面内的垂线与斜线的垂直关系用三垂线定理一步到位。

结论推广：二面角平面角的标准作法：“棱的垂线在两个面内的射影”或”面的垂线与棱的交点处作垂线”。

方法推广：$DF=\frac{AD\cdot DE}{AE}$ 是直角三角形斜边高的公式，比坐标法快。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直
• 2009-大纲卷I文-19 解-四棱锥二面角
• 2009-天津卷文-19 解-四棱锥线面角
• 2009-山东卷文-18 解-线面平行与面面垂直