2011-北京卷文-06 单-程序框图累加

本题导读

本题考查程序框图的循环结构，以及累加过程的模拟执行。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 执行如图所示的程序框图，若输入 $A$ 的值为 $2$，则输出的 $P$ 的值为 ()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：逐步模拟：$P=1,S=1$
2. 步骤2：每轮判断 $S⩽A$ 后 $P=P+1$、$S=S+\frac{1}{P}$

✅【答案】

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C输出 $P=4$

✍【详细解析】

Abstract

$P=1$，$S=1$。

第一轮：$S=1⩽2$，$P=2$，$S=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$；

第二轮：$S=\frac{3}{2}⩽2$，$P=3$，$S=\frac{3}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}$；

第三轮：$S=\frac{11}{6}⩽2$，$P=4$，$S=\frac{11}{6}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}$；

第四轮判断：$S=\frac{25}{12}>2$，退出循环，输出 $P=4$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：当型循环的执行顺序；判断条件 $S⩽A$ 的终止时刻

核心方法：列表模拟：把每轮的 $P$、$S$ 与判断结果列成表，直到判断不成立

避坑指南：$S$ 的更新是 $S=S+\frac{1}{P}$（先加 $P$ 后更新 $S$），且用的是新的 $P$ 值；若误当 $S=S+1$ 会得 $P=3$ 误选 B——这是本题设计的易错点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：程序框图执行题与 2012-北京卷理-04 等同族；累加量含分式时更要逐轮抄写。

结论推广：推广：$S_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}$（调和级数部分和）增长缓慢，$A=2$ 时约需 $P=4$ 项即超过，这类”何时超过”的估计思想在算法题中常用。

方法推广：框图题：先确认判断框位置（当型先判断）与更新顺序，再逐轮列表；分式累加要通分或用小数近似估算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-05 单-程序框图循环
• 2012-新课标卷文-05 单-线性规划