2011-大纲卷文-19 解-独立事件概率

本题导读

本题考查互斥事件的概率加法公式，以及相互独立事件。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 $0.5$，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 $0.3$．设各车主购买保险相互独立．

(1) 求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；

(2) 求该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) $P(A\cup B)=P(A)+P(B\cap \complement A)$
2. 步骤2：(2) 都不购买概率 $0.2$
3. 步骤3：二项式 ${\mathrm{C}}_3^1\times 0.2\times 0.8^2$

✅【答案】

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(1) $0.8$

(2) $0.384$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 记”购买甲”为事件 $A$，“购买乙但不购买甲”为事件 $C$。$A$ 与 $C$ 互斥，且”至少购买一种”$=A\cup C$。

$P(A\cup C)=P(A)+P(C)=0.5+0.3=0.8$。

(2) 一位车主两种保险都不购买的概率 $p=1-0.8=0.2$。各车主相互独立，3 位中恰有 1 位不购买：

$P={\mathrm{C}}_3^1\times 0.2\times (1-0.2{)}^2=3\times 0.2\times 0.64=0.384$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：互斥事件概率加法；对立事件求”都不”；独立重复试验（二项分布）

核心方法：“至少”用互斥拆项；“恰有 $k$ 位”用二项分布 $C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

避坑指南：题给 $0.3$ 是”买乙不买甲”的联合概率，不能与”买乙”概率混用；“都不购买”的对立事件是”至少买一种”（$0.8$），不是”只买甲”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立事件概率解答题与 2013-大纲卷文-20（独立事件概率）、2014-大纲卷文-20（独立事件概率）、2012-四川卷文-17（独立事件与二项分布）同族。

结论推广：推广：若 3 位中”至少有 1 位不购买”的概率为 $1-0.8^3=0.488$，与”恰有 1 位”（$0.384$）用对立与二项两种口径区分。

方法推广：概率解答题：先把事件的”或、且、不”翻译成集合运算，求出单个车主的各概率，再用二项分布处理”3 位中恰有 $k$ 位”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-20 解-独立事件概率
• 2014-大纲卷文-20 解-独立事件概率
• 2012-四川卷文-17 解-独立事件与二项分布