2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角

本题导读

本题考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 如图，在正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A{A}_1=2$，$AB=1$，点 $N$ 是 $BC$ 的中点，点 $M$ 在 $C{C}_1$ 上.设二面角 $A_1-DN-M$ 的大小为 $\theta$.

(1) 当 $\theta =90^{\circ }$ 时，求 $AM$ 的长；

(2) 当 $\cos \theta =\frac{\sqrt{6}}{6}$ 时，求 $CM$ 的长.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：以 $D$ 为原点建系
2. 步骤2：设 $CM=t$
3. 步骤3：求两平面法向量
4. 步骤4：用夹角公式建立关于 $t$ 的方程

✅【答案】

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(1) $AM=\frac{\sqrt{51}}{5}$

(2) $CM=\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $D$ 为坐标原点，$DA$，$DC$，$D{D}_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立空间直角坐标系。

则 $D(0,0,0)$，$A(1,0,0)$，$A_1(1,0,2)$，$N\left(\frac{1}{2},1,0\right)$；设 $CM=t$（$0⩽t⩽2$），则 $M(0,1,t)$。

$\overrightarrow{DN}=\left(\frac{1}{2},1,0\right)$，$\overrightarrow{DM}=(0,1,t)$，$\overrightarrow{D{A}_1}=(1,0,2)$。

设平面 $DMN$ 的法向量 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$，由 ${\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{DN}=0$，${\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{DM}=0$ 得 $x_1+2y_1=0$，$y_1+t{z}_1=0$；取 $z_1=1$，得 ${\vec{n}}_1=(2t,-t,1)$，$|{\vec{n}}_1|=\sqrt{5t^2+1}$。

设平面 $A_{1}DN$ 的法向量 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$，由 ${\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{D{A}_1}=0$，${\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{DN}=0$ 得 $x_2+2z_2=0$，$x_2+2y_2=0$；取 $z_2=1$，得 ${\vec{n}}_2=(-2,1,1)$，$|{\vec{n}}_2|=\sqrt{6}$。

于是 ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=1-5t$，

$\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|1-5t|}{\sqrt{6}\sqrt{5t^2+1}}$。

（1）当 $\theta =90^{\circ }$ 时，两平面的法向量垂直，$1-5t=0$，得 $t=\frac{1}{5}$。

此时 $M\left(0,1,\frac{1}{5}\right)$，又 $A(1,0,0)$，所以

$AM=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2}=\frac{\sqrt{51}}{5}$。

（2）当 $\cos \theta =\frac{\sqrt{6}}{6}$ 时，$\frac{|1-5t|}{\sqrt{6}\sqrt{5t^2+1}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$，即 $|1-5t|=\sqrt{5t^2+1}$。

两边平方：$(1-5t{)}^2=5t^2+1$，整理得 $10t(2t-1)=0$，解得 $t=0$ 或 $t=\frac{1}{2}$。

由题图，$M$ 是棱 $C{C}_1$ 上不与 $C$ 重合的点，故 $t>0$，$t=0$ 舍去，所以 $CM=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间直角坐标系的建立；法向量的求解；二面角的向量夹角公式；距离公式

核心方法：空间向量坐标法：把二面角完全代数化，设动点参数 $t$ 后用夹角公式建立方程

避坑指南：平方产生的根 $t=0$ 对应 $M$ 与 $C$ 重合，与题图”$M$ 在棱 $C{C}_1$ 上”的构图不符，必须依题意舍去；二面角余弦取两法向量夹角余弦的绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间向量与二面角综合题，与 2013 年江苏卷第 22 题、2017 年江苏卷第 22 题同族。

结论推广：在柱体中由二面角反求动点参数，可统一为”法向量含参 → 夹角方程 → 一次或二次方程”的代数流程。

方法推广：空间向量法求角四步走：建系 → 写坐标 → 求法向量 → 代夹角公式；含动点时先设参数并写明取值范围，最后按题图取舍根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-22 解-异面直线所成的角
• 2015-江苏卷-22 解-二面角