2012-天津卷文-09 填-绝对值不等式与整数集合

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法，以及集合中的整数元素。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 集合 $A=\{x\in \mathbf{R}\mid |x-2|⩽5\}$ 中的最小整数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$|x-2|⩽5$ 即 $-3⩽x⩽7$，最小整数为 $-3$。

✅【答案】

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$-3$

✍【详细解析】

Abstract

$|x-2|⩽5$ 等价于 $-5⩽x-2⩽5$，即 $-3⩽x⩽7$。

该区间内的整数从 $-3$ 到 $7$，故最小整数为 $-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式的解法

核心方法：$|u|⩽a$（$a>0$）化为 $-a⩽u⩽a$

避坑指南：左端点是 $2-5=-3$ 而非 $-7$；本题最小整数恰为区间左端点，但一般要检查端点是否为整数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值不等式与集合整数入口题，与 2015 年天津卷文第 1 题、2014 年辽宁卷文第 1 题同族。

结论推广：$|x-a|⩽r$ 的解集是以 $a$ 为中心、半径 $r$ 的闭区间 $[a-r,a+r]$。

方法推广：绝对值不等式先化区间，再按需数整数、求长度或取元素。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2015-天津卷文-01 单-集合交补
• 2014-辽宁卷文-01 单-集合运算
• 2014-新课标II卷理-24 解-绝对值三角不等式