2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性。核心在于分类讨论、韦达定理的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)） 设 $a\in [-2,0]$，已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3-(a+5)x,& x⩽0,\\ x^3-\frac{a+3}{2}{x}^2+ax,& x>0.\end{array}$

(1)证明：$f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内单调递减，在区间 $(1,+\infty )$ 内单调递增；

(2)设曲线 $y=f(x)$ 在点 $P_i(x_i,f(x_i))$（$i=1,2,3$）处的切线相互平行，且 $x_1{x}_2{x}_3\ne 0$，证明：$x_1+x_2+x_3>-\frac{1}{3}$.

🔍【思路分析】

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1. $(1)$ $x⩽0$：$f\prime (x)=3x^2-(a+5)⩽3-3=0$（$|x|<1$，$a+5\in [3,5]$）→ 递减；$x>0$：$f\prime (x)=3(x-1)\left(x-\frac{a}{3}\right)$，$\frac{a}{3}\in \left[-\frac{2}{3},0\right]$ → $(0,1)$ 上 $f\prime <0$、$(1,+\infty )$ 上 $f\prime >0$。
2. $(2)$ 设切线斜率均为 $k$。三点中 $x>0$ 支最多两个、$x<0$ 支最多一个 → 恰为”一负两正”。
3. 记 $x_1<0<x_2<x_3$：$x_2+x_3=\frac{a+3}{3}$，$x_2{x}_3=\frac{a-k}{3}>0$ → $k<a$ → $x_1=-\sqrt{\frac{k+a+5}{3}}>-\sqrt{\frac{2a+5}{3}}$。
4. $x_1+x_2+x_3>\frac{a+3}{3}-\sqrt{\frac{2a+5}{3}}⩾-\frac{1}{3}$（因 $\frac{a+4}{3}⩾\sqrt{\frac{2a+5}{3}}\iff (a+1{)}^2⩾0$），又 $k<a$ 严格 → 不等式严格成立。

✅【答案】

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(1)(2)见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由 $a\in [-2,0]$ 知 $a+5\in [3,5]$，$\frac{a}{3}\in \left[-\frac{2}{3},0\right]$。 当 $x⩽0$ 时，$f(x)=x^3-(a+5)x$， $f\prime (x)=3x^2-(a+5).$ 若 $x\in (-1,0]$，则 $3x^2⩽3$；又 $a⩽0$ 给出 $a+5⩾3$，于是 $f\prime (x)=3x^2-(a+5)⩽3x^2-3<0(-1<x<0),$ 即 $f$ 在 $(-1,0]$ 上单调递减。 当 $x>0$ 时，$f(x)=x^3-\frac{a+3}{2}{x}^2+ax$， $f\prime (x)=3x^2-(a+3)x+a=3(x-1)\left(x-\frac{a}{3}\right).$ 因为 $\frac{a}{3}⩽0$，所以当 $x\in (0,1)$ 时 $x-1<0$ 且 $x-\frac{a}{3}>0$，得 $f\prime (x)<0$；当 $x\in (1,+\infty )$ 时 $x-1>0$ 且 $x-\frac{a}{3}>0$，得 $f\prime (x)>0$。 即 $f$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty )$ 上单调递增。 又 $f$ 在 $x=0$ 处连续（$f(0)=0$），两段的单调性可以拼接，故 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内单调递减，在 $(1,+\infty )$ 内单调递增。 （2） 设三处切线的公共斜率为 $k$，则 $f\prime (x_i)=k$（$i=1,2,3$），且 $x_1{x}_2{x}_3\ne 0$，即三个切点都不在 $y$ 轴上。 在 $x<0$ 一支上，$f\prime (x)=3x^2-(a+5)$ 是偶函数，方程 $3x^2-(a+5)=k$ 等价于 $x^2=\frac{k+a+5}{3},$ 它在 $x<0$ 上至多有一个解（负根 $x=-\sqrt{\frac{k+a+5}{3}}$），故三个切点中至多一个在 $x<0$ 一支。 在 $x>0$ 一支上，$3x^2-(a+3)x+a=k$，即 $3x^2-(a+3)x+(a-k)=0,$ 这是二次方程，至多有两个解。 因此三个切点只能”一个在 $x<0$ 一支、两个在 $x>0$ 一支”。不妨设 $x_1<0<x_2<x_3$。 由韦达定理 $x_2+x_3=\frac{a+3}{3},x_2{x}_3=\frac{a-k}{3}.$ 因为 $x_2>0$，$x_3>0$，所以 $x_2{x}_3>0$，即 $\frac{a-k}{3}>0$，得 $k<a$。 又 $x_1=-\sqrt{\frac{k+a+5}{3}},$ 由 $k<a⩽0$ 得 $k+a+5<a+a+5=2a+5$，结合 $a⩾-2$ 知 $2a+5⩾1>0$，故 $|x_1|=\sqrt{\frac{k+a+5}{3}}<\sqrt{\frac{2a+5}{3}},x_1>-\sqrt{\frac{2a+5}{3}}.$ 于是 $x_1+x_2+x_3>\frac{a+3}{3}-\sqrt{\frac{2a+5}{3}}.$ 下面证明右端不小于 $-\frac{1}{3}$。因为 $a⩾-2$ 时 $a+4>0$，且 $\frac{a+4}{3}-\sqrt{\frac{2a+5}{3}}=\frac{(a+4{)}^2-3(2a+5)}{3\left[(a+4)+3\sqrt{\frac{2a+5}{3}}\right]}=\frac{a^2+2a+1}{3\left[(a+4)+3\sqrt{\frac{2a+5}{3}}\right]}=\frac{(a+1{)}^2}{3\left[(a+4)+3\sqrt{\frac{2a+5}{3}}\right]}⩾0,$ 所以 $\frac{a+3}{3}-\sqrt{\frac{2a+5}{3}}=\frac{a+4}{3}-\sqrt{\frac{2a+5}{3}}-\frac{1}{3}⩾-\frac{1}{3}.$ 从而 $x_1+x_2+x_3>-\frac{1}{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的单调性与”切线平行”条件下的和式估计

核心方法：$(1)$ $x⩽0$ 时 $f\prime (x)=3x^2-(a+5)⩽3x^2-3<0$（$|x|<1$）→ 在 $(-1,0]$ 递减；$x>0$ 时 $f\prime (x)=3x^2-(a+3)x+a=3(x-1)\left(x-\frac{a}{3}\right)$，因 $\frac{a}{3}\in \left[-\frac{2}{3},0\right]$，故 $x\in (0,1)$ 时 $f\prime (x)<0$、$x\in (1,+\infty )$ 时 $f\prime (x)>0$ → 在 $(0,1)$ 递减、$(1,+\infty )$ 递增；结合连续性得 $f$ 在 $(-1,1)$ 递减、在 $(1,+\infty )$ 递增。$(2)$ 设三处切线斜率均为 $k$：$x>0$ 支上 $3x^2-(a+3)x+(a-k)=0$ 至多两根（设为 $x_2,x_3$），$x<0$ 支上 $3x^2-(a+5)=k$ 的负根 $x_1=-\sqrt{\frac{k+a+5}{3}}$；由 $x_2{x}_3=\frac{a-k}{3}>0$ 得 $k<a$，故 $x_1>-\sqrt{\frac{2a+5}{3}}$；于是 $x_1+x_2+x_3>\frac{a+3}{3}-\sqrt{\frac{2a+5}{3}}$，而 $\frac{a+3}{3}-\sqrt{\frac{2a+5}{3}}+\frac{1}{3}=\frac{a+4}{3}-\sqrt{\frac{2a+5}{3}}=\frac{(a+4{)}^2-3(2a+5)}{3\left[(a+4)+3\sqrt{\frac{2a+5}{3}}\right]}=\frac{(a+1{)}^2}{3\left[(a+4)+3\sqrt{\frac{2a+5}{3}}\right]}⩾0$ → $x_1+x_2+x_3>-\frac{1}{3}$

避坑指南：$(1)$ 分段讨论时要在接缝 $x=0$ 处补一句”由连续性”，否则严格来说需分别说明两段区间上的单调性可拼接；$(2)$ 的突破口是先数清三个点各在哪一支：$x<0$ 支的导函数是偶函数，最多提供一个负根，所以三点只能”一负两正”；再由”两根都为正”导出 $x_2{x}_3>0$，即 $k<a$——这一步把 $k$ 的范围收紧，才能对 $x_1$ 放缩；最后 $\frac{(a+1{)}^2}{\cdots }⩾0$ 当 $a=-1$ 时取"$=$"，此时中间量恰为 $-\frac{1}{3}$，但 $k<a$ 是严格不等式，故结论仍为严格的 ”>”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数的单调性证明与导数几何意义的综合应用。

结论推广：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义（切线斜率）；韦达定理；不等式的放缩与证明。

方法推广：分段求导、判号定单调性 → 由”三点切线平行”确定三点分布（一负两正）→ 用韦达定理与放缩估计和的范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-12 填-导数切线平行
• 2013-北京卷文-13 填-分段函数值域
• 2013-新课标I卷文-12 单-分段函数恒成立