2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质

本题导读

本题考查椭圆。核心在于待定系数法、设而不求法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左焦点为 $F$，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

(1)求椭圆的方程；

(2)设 $A,B$ 分别为椭圆的左右顶点，过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆交于 $C,D$ 两点.若 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CB}=8$，求 $k$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求方程）：
   • 由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 得 $a^2=3c^2$。
   • 过焦点垂直于 $x$ 轴的直线即 $x=-c$，代入椭圆方程求出纵坐标 $y=\pm \frac{b^2}{a}$。
   • 线段长为 $\frac{2b^2}{a}$，结合已知长度和 $b^2=a^2-c^2$ 联立方程组求出 $a,b$。
2. 第二问（求斜率）：
   • 设定直线：左焦点 $F(-1,0)$，直线 $CD:y=k(x+1)$。
   • 联立方程：将直线方程代入椭圆方程，得到关于 $x$ 的一元二次方程，利用韦达定理写出 $x_1+x_2$ 和 $x_1{x}_2$。
   • 坐标表示向量：写出 $A(-\sqrt{3},0),B(\sqrt{3},0)$ 及 $C,D$ 的坐标。
   • 化简目标式：利用向量数量积坐标公式展开已知等式，代入 $y=k(x+1)$ 将所有变量转化为 $x_1,x_2$，最后代入韦达定理求解 $k$。

✅【答案】

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$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；$k=\pm \sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 设 $F(-c,0)$，由 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 知 $a=\sqrt{3}c$。 过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线方程为 $x=-c$。 将其代入 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 得：$\frac{c^2}{3c^2}+\frac{y^2}{b^2}=1⟹\frac{y^2}{b^2}=\frac{2}{3}⟹y=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}b$。 则截得线段长为 $\frac{2\sqrt{6}}{3}b=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，解得 $b=\sqrt{2}$，则 $b^2=2$。 又 $a^2-c^2=b^2⟹3c^2-c^2=2⟹2c^2=2⟹c=1$。 从而 $a^2=3$。 所以椭圆方程为 $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$。

（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）知 $F(-1,0),A(-\sqrt{3},0),B(\sqrt{3},0)$。 设 $C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$，直线 $CD$ 方程为 $y=k(x+1)$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=k(x+1)\\ 2x^2+3y^2=6\end{array}⟹(2+3k^2)x^2+6k^{2}x+3k^2-6=0$。 由韦达定理得：$x_1+x_2=-\frac{6k^2}{2+3k^2},x_1{x}_2=\frac{3k^2-6}{2+3k^2}$。

计算目标向量积： $\overrightarrow{AC}=(x_1+\sqrt{3},y_1),\overrightarrow{DB}=(\sqrt{3}-x_2,-y_2)$ $\overrightarrow{AD}=(x_2+\sqrt{3},y_2),\overrightarrow{CB}=(\sqrt{3}-x_1,-y_1)$ $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CB}=[(x_1+\sqrt{3})(\sqrt{3}-x_2)-y_1{y}_2]+[(x_2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-x_1)-y_2{y}_1]$ $=(3-x_1{x}_2+\sqrt{3}{x}_1-\sqrt{3}{x}_2-y_1{y}_2)+(3-x_1{x}_2+\sqrt{3}{x}_2-\sqrt{3}{x}_1-y_1{y}_2)$ $=6-2x_1{x}_2-2y_1{y}_2=6-2x_1{x}_2-2k^2(x_1+1)(x_2+1)$ $=6-2x_1{x}_2-2k^2(x_1{x}_2+x_1+x_2+1)=6-(2+2k^2)x_1{x}_2-2k^2(x_1+x_2)-2k^2$

代入韦达定理简化： 经化简整理得该式为 $6+\frac{2k^2+12}{2+3k^2}$。 由已知得 $6+\frac{2k^2+12}{2+3k^2}=8⟹\frac{2k^2+12}{2+3k^2}=2$。 $2k^2+12=4+6k^2⟹4k^2=8⟹k^2=2$。 所以 $k=\pm \sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆通径长 $L=\frac{2b^2}{a}$；韦达定理在坐标化运算中的代换作用。

核心方法：“几何问题代数化”。向量数量积在解析几何中通常充当方程建立的桥梁，将向量关系翻译成坐标关系是解题定式。

避坑指南：- 联立方程后，必须检查判别式 $\Delta >0$（本题中直线过椭圆内焦点，恒有两个交点）。 - 计算数量积时，注意 $y_1{y}_2$ 与 $x_1,x_2$ 的转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极点与极线、调和分割性质。

结论推广：若本题中 $A,B$ 不是顶点而是椭圆上关于原点对称的两点，结论依然具有类似的结构。

方法推广：“几何问题代数化”。向量数量积在解析几何中通常充当方程建立的桥梁，将向量关系翻译成坐标关系是解题定式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2014-辽宁卷文-20 解-椭圆方程
• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆