2013-江苏卷-03 填-渐近线

本题导读

本题考查双曲线，以及双曲线的简单几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 的两条渐近线的方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别标准方程参数：由双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 可知焦点在 $x$ 轴上，$a^2=16$，$b^2=9$。
2. 提取半轴长：计算出实半轴长 $a=4$，虚半轴长 $b=3$。
3. 应用渐近线公式：焦点在 $x$ 轴的双曲线渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
4. 快速技巧：将双曲线方程右边的常数 $1$ 改为 $0$，整理得到的直线方程即为渐近线方程。

✅【答案】

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$y=\pm \frac{3}{4}x$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：公式法 已知双曲线方程为 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$， 其中 $a^2=16⟹a=4$，$b^2=9⟹b=3$。 因为焦点在 $x$ 轴上，所以其渐近线方程公式为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 代入参数得：$y=\pm \frac{3}{4}x$。

方法二：转化法（令0法） 令双曲线方程右侧常数为 $0$，得： $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=0$ $\frac{y^2}{9}=\frac{x^2}{16}$ $y^2=\frac{9}{16}{x}^2$ 两边开平方得：$y=\pm \frac{3}{4}x$。

故答案为：$y=\pm \frac{3}{4}x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

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• 2015-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线
• 2015-天津卷文-05 单-双曲线渐近线
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