2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程

本题导读

本题考查双曲线，以及双曲线的标准方程。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 已知 $0<\theta <\frac{\pi }{4}$，则双曲线 $C_1:\frac{x^2}{{\cos }^2\theta }-\frac{y^2}{{\sin }^2\theta }=1$ 与 $C_2:\frac{y^2}{{\sin }^2\theta }-\frac{x^2}{{\sin }^2\theta {\tan }^2\theta }=1$ 的()

A. 实轴长相等　　B. 虚轴长相等　　C. 焦距相等　　D. 离心率相等

🔍【思路分析】

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1. 提取 $C_1$ 的几何量：直接从标准方程（焦点在 $x$ 轴）中识别 $a_1^2,b_1^2$，并计算 $c_1^2$ 和 $e_1$。
2. 提取 $C_2$ 的几何量：注意 $C_2$ 的标准方程形式（焦点在 $y$ 轴），识别 $a_2^2,b_2^2$，并利用三角恒等式进行化简，计算 $c_2^2$ 和 $e_2$。
3. 对比选项：
   • 实轴长：比较 $2a_1$ 与 $2a_2$。
   • 虚轴长：比较 $2b_1$ 与 $2b_2$。
   • 焦距：比较 $2c_1$ 与 $2c_2$。
   • 离心率：比较 $e_1$ 与 $e_2$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析双曲线 $C_1$ 方程为 $\frac{x^2}{{\cos }^2\theta }-\frac{y^2}{{\sin }^2\theta }=1$，焦点在 $x$ 轴上。

• $a_1^2={\cos }^2\theta ⟹a_1=\cos \theta$（实半轴长）；
• $b_1^2={\sin }^2\theta ⟹b_1=\sin \theta$（虚半轴长）；
• $c_1^2=a_1^2+b_1^2={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1⟹c_1=1$；
• 离心率 $e_1=\frac{c_1}{a_1}=\frac{1}{\cos \theta }$。

第二步：分析双曲线 $C_2$ 方程为 $\frac{y^2}{{\sin }^2\theta }-\frac{x^2}{{\sin }^2\theta {\tan }^2\theta }=1$，焦点在 $y$ 轴上。

• $a_2^2={\sin }^2\theta ⟹a_2=\sin \theta$（实半轴长）；
• $b_2^2={\sin }^2\theta {\tan }^2\theta ={\sin }^2\theta \cdot \frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{{\sin }^4\theta }{{\cos }^2\theta }$；
• $c_2^2=a_2^2+b_2^2={\sin }^2\theta +\frac{{\sin }^4\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta +{\sin }^4\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{{\sin }^2\theta ({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )}{{\cos }^2\theta }=\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }={\tan }^2\theta ⟹c_2=\tan \theta$；
• 离心率 $e_2=\frac{c_2}{a_2}=\frac{\tan \theta }{\sin \theta }=\frac{\sin \theta /\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{1}{\cos \theta }$。

第三步：对比结论

1. 实轴长：$2a_1=2\cos \theta$，$2a_2=2\sin \theta$。因为 $0<\theta <\frac{\pi }{4}$，则 $\cos \theta >\sin \theta$，不相等；
2. 虚轴长：$2b_1=2\sin \theta$，$2b_2=2\frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }$，不相等；
3. 焦距：$2c_1=2$，$2c_2=2\tan \theta$。由于 $\theta \in (0,\frac{\pi }{4})$ 时 $\tan \theta \in (0,1)$，不相等；
4. 离心率：$e_1=\frac{1}{\cos \theta }$，$e_2=\frac{1}{\cos \theta }$，相等。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：在化简 $C_2$ 的焦距时，利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 进行提取公因式是关键，若强行开方计算容易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：两条双曲线若具有相同的渐近线（本题中均为 $y=\pm \tan \theta \cdot x$ 或其倒数形式的变体），且参数结构对称，其离心率往往存在特定联系（如相等或倒数关系）。

方法推广：在处理含有三角函数的解析几何题时，优先利用同角三角恒等式进行“常数化”处理，将复杂的三角式转化为简洁的几何量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷文-09 单-双曲线方程
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线