2014-天津卷文-01 单-复数除法

本题导读

分子分母同乘分母的共轭复数 $3-4\mathrm{i}$，把分母化为实数。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{7+\mathrm{i}}{3+4\mathrm{i}}=$ ()

A. $1-\mathrm{i}$　　　　B. $-1+\mathrm{i}$　　　　C. $\frac{17}{25}+\frac{31}{25}\mathrm{i}$　　　　D. $-\frac{17}{7}+\frac{25}{7}\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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分母 $3+4\mathrm{i}$ 的共轭复数是 $3-4\mathrm{i}$，分子分母同乘它，分母变成 $3^2+4^2=25$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{7+\mathrm{i}}{3+4\mathrm{i}}=\frac{(7+\mathrm{i})(3-4\mathrm{i})}{(3+4\mathrm{i})(3-4\mathrm{i})}=\frac{21-28\mathrm{i}+3\mathrm{i}-4{\mathrm{i}}^2}{3^2+4^2}$。 由 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 得 $-4{\mathrm{i}}^2=4$，故分子为 $21-25\mathrm{i}+4=25-25\mathrm{i}$。 所以原式 $=\frac{25-25\mathrm{i}}{25}=1-\mathrm{i}$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的除法运算

2. 核心方法：分母实数化（同乘共轭复数）

3. 避坑指南：分母 $-4\mathrm{i}$ 的符号与 $3+4\mathrm{i}$ 相差一个负号，同乘 $3-4\mathrm{i}$ 即可，不必另作变形；计算 $4\mathrm{i}\cdot 4\mathrm{i}=-16$ 时勿漏负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数的四则运算。

2. 结论推广: $\frac{1}{a+b\mathrm{i}}=\frac{a-b\mathrm{i}}{a^2+b^2}(a,b\in \mathbf{R})$，即 $z\bar{z}=|z{|}^2$ 的变形。

3. 方法推广: 复数除法固定套路：分子分母同乘分母的共轭复数，把分母化为实数后分离实部、虚部。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-02 单-复数除法
• 2014-安徽卷文-01 单-复数运算