2015-湖北卷文-11 填-向量数量积

本题导读

由 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AB}$ 得 $\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=0$，展开即 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}{|}^2=9$。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)） 已知向量 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AB}$，$|\overrightarrow{OA}|=3$，则 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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由 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AB}$ 得 $\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=0$，展开即 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}{|}^2=9$。

✅【答案】

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$9$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AB}$，所以 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=0$。又 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，故

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}-|\overrightarrow{OA}{|}^2=0$，

即 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}{|}^2=3^2=9$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直与数量积的互化；向量的减法运算

核心方法：“垂直 $\Rightarrow$ 数量积为零”，再把 $\overrightarrow{AB}$ 拆成 $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ 展开

避坑指南：不要误以为 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$；垂直的是 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{AB}$，展开后数量积等于 $|\overrightarrow{OA}{|}^2$ 而非 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“三点共线/垂直 + 求数量积”是平面向量小题的固定套路，本质是投影：$\overrightarrow{OB}$ 在 $\overrightarrow{OA}$ 方向上的投影即为 $|\overrightarrow{OA}|$。

结论推广：一般地，$\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AB}⟺O$ 在以 $AB$ 为直径的圆上（直径所对圆周角），此时 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB})=|\overrightarrow{OA}{|}^2$。

方法推广：见垂直先写数量积为零，再用”起点统一”把混合向量拆到同一组基。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

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