2017-全国卷III理-14 填-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项性质。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） 设等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1+a_2=-1$，$a_1-a_3=-3$，则 $a_4=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设基本量：设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公比为 $q$。
2. 列方程组：利用通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，将已知条件转化为关于 $a_1$ 和 $q$ 的方程。

• $a_1+a_{1}q=-1\Rightarrow a_1(1+q)=-1$ ①
• $a_1-a_1{q}^2=-3\Rightarrow a_1(1-q^2)=-3$ ②

3. 消元求解：

• 观察到 $1-q^2=(1+q)(1-q)$，利用 ② ÷ ① 可以直接消去 $a_1$ 和 $(1+q)$，求出 $q$。
• 将 $q$ 代回方程求出 $a_1$。

4. 求目标项：计算 $a_4=a_1{q}^3$。

✅【答案】

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$-8$

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：建立方程组 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。 由题意得： $\{\begin{array}{ll}{a}_1+a_{1}q=-1& \text{—(1)}\\ a_1-a_1{q}^2=-3& \text{—(2)}\end{array}$ 整理得： $\{\begin{array}{ll}{a}_1(1+q)=-1& \text{—(3)}\\ a_1(1-q)(1+q)=-3& \text{—(4)}\end{array}$

第二步：求公比 $q$ 与首项 $a_1$ 由 ③ 知 $a_1\ne 0$ 且 $q\ne -1$。 将 ④ 式除以 ③ 式得： $1-q=\frac{-3}{-1}=3$ 解得：$q=-2$。 将 $q=-2$ 代入 ③ 式得： $a_1(1-2)=-1\Rightarrow -a_1=-1\Rightarrow a_1=1$。

第三步：计算 $a_4$ $a_4=a_1{q}^3=1\times (-2{)}^3=-8$

故答案为：$-8$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 基本量法：数列问题的核心是求首项和公差/公比。
• 计算技巧：在处理等比数列方程组时，“相除消元”通常比“代入消元”更简洁，尤其是在涉及平方差公式（如 $1-q^2$）时。
• 符号检查：公比为负数时，偶数项与奇数项符号相反，计算幂次方（如 $(-2{)}^3$）时需格外小心符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：求前 $n$ 项和 $S_4$ 已知 $a_1=1,q=-2$，则 $S_4=\frac{a_1(1-q^4)}{1-q}=\frac{1\times (1-16)}{1-(-2)}=\frac{-15}{3}=-5$。 验证：$a_1=1,a_2=-2,a_3=4,a_4=-8$，和为 $1-2+4-8=-5$，正确。

2. 规律总结： 在等比数列中，若已知 $a_n+a_{n+1}$ 和 $a_n-a_{n+2}$，利用平方差公式消元是此类题目最常用的套路。

3. 易错警示： 不要忽略 $a_1\ne 0$ 和 $q\ne 1$ 等前提条件，虽然在填空题中不影响结果，但在解答题中是逻辑严密性的要求。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-13 填-等比数列
• 2015-四川卷文-16 解-等比数列
• 2015-新课标I卷文-13 填-等比数列