03.03 柯西不等式

🟦 柯西不等式

核心心法

柯西不等式（及其衍生的权方和不等式）则是处理分式和高次幂和式的利器。

柯西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality)

二元式：设 $a,b,c,d\in {\mathbb{R}}^{+}$，有 $(a+b)(c+d)\ge (\sqrt{ac}+\sqrt{bd}{)}^2$，当且仅当 $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ 时等号成立。

1. 权方和不等式模型

由 $(a+b)(\frac{m}{a}+\frac{n}{b})\ge (\sqrt{m}+\sqrt{n}{)}^2$ 变形得： $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge \frac{(a+b{)}^2}{x+y}$ （$a,b,x,y>0$） 同理：$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{x+y+z}$。

2. 一高一低和式配凑

已知 $x^2+y^2$ 求 $x+y$；或已知 $x+y$ 求 $2x^2+3y^2$ 最值： $(x^2+y^2)(m^2+n^2)\ge (mx+ny{)}^2$ 例如：$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge \frac{a+b}{2}$。

3. 同次积式配凑

已知 $xy$ 的值，利用 $(x+m)(y+n)\ge (\sqrt{xy}+\sqrt{mn}{)}^2$ 求最值。

4.柯西不等式的一般形式

设 $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$，$b_1,b_2,b_3,\dots ,b_n$ 都是实数，则 $(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)\ge (a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n{)}^2$，当且仅当 $b_i=0(i=1,2,\dots ,n)$ 或存在一个数 $\lambda$，使得 $a_i=\lambda b_i(i=1,2,\dots ,n)$ 时等号成立；

5. 常用的分式型柯西不等式(权方和不等式)

$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\cdots +\frac{a_n^2}{b_n}\ge \frac{(a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n{)}^2}{b_1+b_2+b_3+\cdots +b_n}$，其中 $b_i>0(i=1,2,\dots ,n)$ 当且仅当 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots =\frac{a_n}{b_n}$ 时取等号。 【证明】 证明一：向量法 令向量 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3,\dots ,b_n)$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}\cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2}}$ 因为 ${\cos }^2\theta \le 1$，所以 ${\left(\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}\cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2}}\right)}^2\le 1$ 即 $(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)\ge (a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n{)}^2$ 当且仅当 $\cos \theta =1$，即 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots =\frac{a_n}{b_n}$ 时取等号。 证明二：判别式法 构造函数 $f(x)=(a_{1}x+b_1{)}^2+(a_{2}x+b_2{)}^2+\cdots +(a_{n}x+b_n{)}^2$，则 $f(x)\ge 0$ \begin{align*} f(x)&=(a_1^2x^2+2a_1b_1x+b_1^2)+(a_2^2x^2+2a_2b_2x+b_2^2)+\dots+(a_n^2x^2+2a_nb_nx+b_n^2)\\ &=(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)x^2+(2a_1b_1+2a_2b_2+\dots+2a_nb_n)x+(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2) \end{align*} \begin{align*} \Delta&=(2a_1b_1+2a_2b_2+\dots+2a_nb_n)^2-4(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\le0\\ \Rightarrow&(a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2-(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\le0\\ \Rightarrow&(a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2\le(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\\ \Rightarrow&(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\ge(a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2 \end{align*} 当且仅当 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots =\frac{a_n}{b_n}$ 时取等号。 (3) 证明一： \begin{align*} \frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\dots+\frac{a_n^2}{b_n}&\ge\frac{(a_1+a_2+a_3+\dots+a_n)^2}{b_1+b_2+b_3+\dots+b_n}\\ \Leftrightarrow&\left(\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\dots+\frac{a_n^2}{b_n}\right)(b_1+b_2+b_3+\dots+b_n)\ge(a_1+a_2+a_3+\dots+a_n)^2\\ \Leftrightarrow&\left[\left(\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}\right)^2+\left(\frac{a_2}{\sqrt{b_2}}\right)^2+\dots+\left(\frac{a_n}{\sqrt{b_n}}\right)^2\right]\left[(\sqrt{b_1})^2+(\sqrt{b_2})^2+\dots+(\sqrt{b_n})^2\right]\ge(a_1+a_2+a_3+\dots+a_n)^2\\ \Leftrightarrow&\left[\left(\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}\right)^2+\left(\frac{a_2}{\sqrt{b_2}}\right)^2+\dots+\left(\frac{a_n}{\sqrt{b_n}}\right)^2\right]\left[(\sqrt{b_1})^2+(\sqrt{b_2})^2+\dots+(\sqrt{b_n})^2\right]\ge\left[\left(\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}\cdot\sqrt{b_1}\right)+\left(\frac{a_2}{\sqrt{b_2}}\cdot\sqrt{b_2}\right)+\dots+\left(\frac{a_n}{\sqrt{b_n}}\cdot\sqrt{b_n}\right)\right]^2 \end{align*} 再由柯西不等式易得。 当且仅当 $\frac{\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}}{\sqrt{b_1}}=\frac{\frac{a_2}{\sqrt{b_2}}}{\sqrt{b_2}}=\cdots =\frac{\frac{a_n}{\sqrt{b_n}}}{\sqrt{b_n}}$，即 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots =\frac{a_n}{b_n}$ 时取等号。 (4) 证明一： \begin{align*} \frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}&=\frac{\left(\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}\right)(b_1+b_2)}{b_1+b_2}\\ &=\frac{a_1^2+\frac{a_1^2}{b_1}b_2+\frac{a_2^2}{b_2}b_1+a_2^2}{b_1+b_2}\\ &\ge\frac{a_1^2+2a_1a_2+a_2^2}{b_1+b_2}\\ &=\frac{(a_1+a_2)^2}{b_1+b_2} \end{align*} 当且仅当 $\frac{a_1^2}{b_1}{b}_2=\frac{a_2^2}{b_2}{b}_1$，即 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}$ 时取等号。

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