18.07 焦点三角形专题

🟦 焦点三角形专题

一、 椭圆焦点三角形核心公式与结论

椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$，焦点 $F_1,F_2$，$P$ 为椭圆上一点，$\angle F_{1}P{F}_2=\theta$。

1、焦点三角形面积公式

${\mathbf{S}}_{△{\mathbf{F}}_1\mathbf{P}{\mathbf{F}}_2}={\mathbf{b}}^2\cdot \frac{\sin \mathbf{\theta }}{1+\cos \mathbf{\theta }}={\mathbf{b}}^2\tan \frac{\mathbf{\theta }}{2}$

本质来源：$S=\frac{1}{4}\left[(a+b{)}^2-c^2\right]\frac{\sin C}{1+\cos C}=\frac{1}{4}\left[(a+b{)}^2-c^2\right]\tan \frac{C}{2}$

2、特殊情形

1. **直角三角形等面积法

（$P{F}_1\perp P{F}_2$） $S_{△F_{1}P{F}_2}=b^2=\frac{2c|y_P|}{2}⟹|y_P|=\frac{b^2}{c}$

$S_{△F_{1}P{F}_2}=\frac{mn}{2}⟹mn=2b^2,r=a-c$ （$r$ 为内切圆半径）

2. 任意角度等面积法 ${\mathbf{S}}_{△{\mathbf{F}}_1\mathbf{P}{\mathbf{F}}_2}=\mathbf{c}|{\mathbf{y}}_{\mathbf{P}}|={\mathbf{b}}^2\tan \frac{\mathbf{\theta }}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathbf{P}{\mathbf{F}}_1}\cdot \overrightarrow{\mathbf{P}{\mathbf{F}}_2}\tan \mathbf{\theta }=(\mathbf{a}+\mathbf{c})\mathbf{r}$

3、最大面积、最大夹角 点 $P$ 在短轴端点时，面积、夹角最大：

$S_{\max }=\frac{2c|y_P|}{2}=c|y_P|=bc$

由 $b^2\tan \frac{\theta }{2}=bc⟹\tan \frac{\mathbf{\theta }}{2}=\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{b}}$

4、直角顶点 $P{F}_1\perp P{F}_2$ 的讨论

• $\theta >90^{\circ }⟺\tan \frac{\theta }{2}>1⟺\frac{c}{b}>1⟺c>b$，4个点
• $\theta =90^{\circ }⟺\tan \frac{\theta }{2}=1⟺c=b$，2个点
• $\theta <90^{\circ }⟺\tan \frac{\theta }{2}<1⟺c<b$，无点

5、 椭圆焦点三角形角度与离心率公式

设 $\angle P{F}_1{F}_2=\alpha ,\angle P{F}_2{F}_1=\beta$

(1)

\begin{align*} e=\frac{c}{a}&=\frac{2c}{2a}=\frac{|F_1F_2|}{|PF_1|+|PF_2|}\\ &=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha+\sin\beta}\\ &=\frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ &=\frac{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}}\\ &=\frac{1-\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}}{1+\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}} \end{align*}

(2)

$\tan \frac{\alpha }{2}\cdot \tan \frac{\beta }{2}=\frac{a-c}{a+c}=\frac{1-e}{1+e}$

6. 椭圆内心与旁心

内心定理

$I$ 为 $△P{F}_1{F}_2$ 内切圆圆心，$PI$ 交 $F_1{F}_2$ 于 $N$，则 $\frac{|\mathbf{IN}|}{|\mathbf{IP}|}=\mathbf{e},\frac{{\mathbf{S}}_{△\mathbf{I}{\mathbf{F}}_1{\mathbf{F}}_2}}{{\mathbf{S}}_{△\mathbf{P}{\mathbf{F}}_1{\mathbf{F}}_2}-{\mathbf{S}}_{△\mathbf{I}{\mathbf{F}}_1{\mathbf{F}}_2}}=\mathbf{e}$

旁心定理

$△P{F}_1{F}_2$ 的旁切圆 $J$ 与 $F_1{F}_2$ 延长线、$P{F}_2$,$F_{1}P$ 延长线分别切于 $C,D,E$， 旁心 $J$ 轨迹：$\mathbf{x}=\pm \mathbf{a}$，与长轴两顶点相切，其中 $-\mathbf{b}<\mathbf{y}<\mathbf{b},\mathbf{y}\ne 0$。

二. 双曲线焦点三角形性质

双曲线 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}-\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>0,\mathbf{b}>0)$，焦点 $F_1,F_2$，$B$ 为双曲线上一点，$\angle F_{1}B{F}_2=\alpha$。 焦点三角形面积公式：

${\mathbf{S}}_{△{\mathbf{F}}_1\mathbf{B}{\mathbf{F}}_2}={\mathbf{b}}^2\cdot \frac{\sin \mathbf{\alpha }}{1-\cos \mathbf{\alpha }}=\frac{{\mathbf{b}}^2}{\tan \frac{\mathbf{\alpha }}{2}}$

(1) 直角三角等面积法（$B{F}_1\perp B{F}_2$）

$S_{△F_{1}B{F}_2}=b^2=\frac{2c|y_B|}{2}⟹|y_B|=\frac{b^2}{c};b^2=\frac{mn}{2}⟹mn=2b^2$

(2) 任意角度等面积法

${\mathbf{S}}_{△{\mathbf{F}}_1\mathbf{B}{\mathbf{F}}_2}=\mathbf{c}|{\mathbf{y}}_{\mathbf{B}}|=\frac{{\mathbf{b}}^2}{\tan \frac{\mathbf{\alpha }}{2}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathbf{B}{\mathbf{F}}_1}\cdot \overrightarrow{\mathbf{B}{\mathbf{F}}_2}\tan \mathbf{\alpha }$

三. 双曲线的内心轨迹和旁心 内心定理：

双曲线 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}-\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>0,\mathbf{b}>0)$，焦点三角形 $P{F}_1{F}_2$ 的内心 $I$ 的轨迹：

内心轨迹：$\mathbf{x}=\pm \mathbf{a}(-\mathbf{b}<\mathbf{y}<\mathbf{b},\mathbf{y}\ne 0)$，与实轴两顶点相切。

推论1

$P$为双曲线左支上非顶点一点，$\angle P{F}_1{F}_2=\alpha ,\angle P{F}_2{F}_1=\beta$，离心率为$e$， 则 $\frac{\tan \frac{\mathbf{\alpha }}{2}}{\tan \frac{\mathbf{\beta }}{2}}=\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{c}-\mathbf{a}}\cdot \frac{\mathbf{a}+\mathbf{c}}{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{e}+1}{\mathbf{e}-1}$

推论2

$O_1,O_2$分别为$△M{F}_1{F}_2,△N{F}_1{F}_2$内心，

$MN$倾斜角为$\alpha$，$|A{O}_1|=r_1,|A{O}_2|=r_2$，

则 $|{\mathbf{O}}_1{\mathbf{O}}_2|=\frac{2(\mathbf{c}-\mathbf{a})}{\sin \mathbf{\alpha }},{\mathbf{r}}_1{\mathbf{r}}_2=(\mathbf{c}-\mathbf{a}{)}^2$

旁心定理

$I$ 是 $△P{F}_1{F}_2$ 的旁心，$F_{1}I,F_{2}I$ 分别是 $\angle P{F}_{1}D,\angle P{F}_{2}D$ 的角平分线，则 $\frac{|\mathbf{ID}|}{|\mathbf{IP}|}=\mathbf{e},\frac{{\mathbf{S}}_{△\mathbf{I}{\mathbf{F}}_1{\mathbf{F}}_2}}{{\mathbf{S}}_{△\mathbf{P}{\mathbf{F}}_1{\mathbf{F}}_2}}=\mathbf{e}$

四. 椭圆双曲线共焦点三角形结论

椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{\mathbf{m}}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{\mathbf{n}}=1(\mathbf{m}>0,\mathbf{n}>0)$ 与双曲线 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{\mathbf{p}}-\frac{{\mathbf{y}}^2}{\mathbf{q}}=1(\mathbf{p}>0,\mathbf{q}>0)$ 共焦点。

由面积相等： $S_{△F_{1}P{F}_2}=n\cdot \frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=q\cdot \frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }$

得 $\frac{n}{1+\cos \alpha }=\frac{q}{1-\cos \alpha }⟹\cos \mathbf{\alpha }=\frac{\mathbf{n}-\mathbf{q}}{\mathbf{n}+\mathbf{q}},|\mathbf{P}{\mathbf{F}}_1|\cdot |\mathbf{P}{\mathbf{F}}_2|=\mathbf{m}-\mathbf{p}=\mathbf{n}+\mathbf{q}$

(1) 当 $P{F}_1\perp P{F}_2$ 时

$e_{\text{椭}}=\frac{2c}{|P{F}_1|+|P{F}_2|},e_{\text{双}}=\frac{2c}{||P{F}_1|-|P{F}_2||}$

$\frac{1}{{\mathbf{e}}_{\text{椭}}^2}+\frac{1}{{\mathbf{e}}_{\text{双}}^2}=2$

(2) 当 $\angle F_{1}P{F}_2=\alpha$ 时

$\frac{1-\cos \mathbf{\alpha }}{{\mathbf{e}}_{\text{椭}}^2}+\frac{1+\cos \mathbf{\alpha }}{{\mathbf{e}}_{\text{双}}^2}=1$