20.16 零点问题

🟦 零点问题

【知识点 1】零点存在定理： 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的图像是一条不间断的曲线，且 $f(a)f(b)<0$，则 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上有零点，即存在 $c\in (a,b)$，使得 $f(c)=0$。

【知识点 2】 若 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上有零点且单调，则零点唯一。

【知识点 3】 若函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上有唯一零点 $x_0$，且 $f(a)f(b)>0$，则 $f^{\prime }(x_0)=0$。

【经验总结 1】 判断函数的零点个数，首先确定所有的单调区间，然后在每一个单调区间上验证零点是否存在。 由于每个单调区间上至多有一个零点，所以零点的个数不超过单调区间的个数。

【经验总结 2】判断函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上零点个数的基本步骤：

(1) 首先查看函数 $f(x)$ 是否在 $(a,b)$ 的某个子区间上恒为正或恒为负，若存在，则将其排除；然后研究 $f(x)$ 在剩余区间上的单调性（通过导函数的正负去判断）。

(2) 若步骤 (1) 无法确定函数 $f(x)$ 的单调区间，则对导函数 $f^{\prime }(x)$ 重复步骤 (1) 的流程。

(3) 在每一个单调区间上验证零点是否存在。

【结论总结 4】 若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有 $m$ 个不同的零点，则： - $f^{\prime }(x)$ 至少有 $m-1$ 个不同的零点；

• $f^{\prime \prime }(x)$ 至少有 $m-2$ 个不同的零点；
• 即每求一次导，其零点的个数至多减少一个。

【知识点 5】广义的零点存在定理： 如果函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上的图像是一条不间断的曲线，且在区间的端点不一定有意义，若 $f(a)f(b)<0$，则函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上有零点，即存在 $c\in (a,b)$，使得 $f(c)=0$。

【内点效应】 函数 $f(x),g(x)$ 定义在区间 $(a,b)$ 上：

(1) 若 $f(a)>g(a)$，则任意选取 $\alpha \in (g(a),f(a))$，不等式组 $\{\begin{array}{l}f(x)>\alpha \\ \alpha >g(x)\end{array}$ 都有解，且解集中的任何一点都满足 $f(x)>g(x)$。

(2) 若 $f(a)<g(a)$，则任意选取 $\alpha \in (f(a),g(a))$，不等式组 $\{\begin{array}{l}f(x)<\alpha \\ \alpha <g(x)\end{array}$ 都有解，且解集中的任何一点都满足 $f(x)<g(x)$。

（3）函数 $f(x)=e^x$，$g(x)$ 为定义在区间 $(a,+\infty )$ 上的幂函数组合，且最高次数为 $\alpha >0$。 选取中间函数 $h(x)=k{x}^{\alpha +1}$，其中：

1. $k$ 由不等式 $e^x>k{x}^{\alpha +1}$ 确定；
2. 再由 $k{x}^{\alpha +1}>g(x)$ 确定“点”$x_0$，使得 $e^{x_0}>g(x_0)$。

【经验总结 3】判断函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上零点个数的基本步骤： 1. 首先排除 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上的无零点区间（恒为正或恒为负），再通过导函数的正负，判断 $f(x)$ 在剩余区间上的单调性。 2. 若无法确定 $f(x)$ 的单调区间，则对导函数 $f^{\prime }(x)$ 重复步骤 (1) 的流程。 3. 最后在每一个单调区间上验证零点是否存在。

【知识点 6】 (1) 若 $x\to +\infty$，则 $x^{\alpha }\ll x^{\beta }$ 对任意 $\beta >\alpha >0$ 都成立；

(2) 若 $x>0$ 且 $x\to 0^{+}$，则 ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\alpha }\ll {\left(\frac{1}{x}\right)}^{\beta }$ 对任意 $\beta >\alpha >0$ 都成立。