2009-上海卷文-02 填-集合并集定参

本题导读

考查集合并集。$A=(-\infty ,1]$，要 $A\cup B=\mathbf{R}$ 须 $B\supseteq (1,+\infty )$，即 $a⩽1$。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 已知集合 $A=\{x\mid x⩽1\}$，$B=\{x\mid x⩾a\}$，且 $A\cup B=\mathbf{R}$，则实数 $a$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $A=(-\infty ,1]$，$B=[a,+\infty )$。
2. 若 $a>1$，区间 $(1,a)$ 两不属；$a⩽1$ 时两区间无缝拼成 $\mathbf{R}$。

✅【答案】

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$a⩽1$

✍【详细解析】

Abstract

$A=(-\infty ,1]$，$B=[a,+\infty )$。 若 $a>1$，则 $(1,a)$ 中的实数既不属于 $A$ 也不属于 $B$，$A\cup B\ne \mathbf{R}$； 若 $a⩽1$，则 $x⩽1$ 时属于 $A$，$x>1$ 时有 $x⩾a$ 属于 $B$，故 $A\cup B=\mathbf{R}$。 所以 $a$ 的取值范围是 $a⩽1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的并集与参数范围

核心方法：数轴定端点

避坑指南：$a⩽1$ 中的等号可以取：$a=1$ 时 $B=[1,+\infty )$ 与 $A=(-\infty ,1]$ 恰好拼成 $\mathbf{R}$，端点别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：区间型集合拼 $\mathbf{R}$ 是集合题经典形态。

结论推广：$(-\infty ,1]\cup [a,+\infty )=\mathbf{R}⟺a⩽1$。

方法推广：画数轴看”接缝”：两区间在 $1$ 处左右相接不重叠也不留缝，$a=1$ 合法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2009-辽宁卷文-01 单-集合并集
• 2009-北京卷文-01 单-集合并集