2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值

本题导读

导数综合。(1) 水平切线 $y=8$ 给 $f^{\prime }(2)=0$ 且 $f(2)=8$，解出 $a=4$、$b=24$；(2) 对 $a<0$、$a>0$ 分类，$a>0$ 时极值点 $\pm \sqrt{a}$。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 设函数 $f(x)=x^3-3ax+b$（$a\ne 0$）.

(1)若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处与直线 $y=8$ 相切，求 $a$，$b$ 的值；

(2)求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值点.

🔍【思路分析】

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1. (1) $f^{\prime }(x)=3x^2-3a$；切线水平 $\Rightarrow f^{\prime }(2)=12-3a=0\Rightarrow a=4$；$f(2)=8-24+b=8\Rightarrow b=24$。
2. (2) $a<0$ 时 $f^{\prime }(x)>0$ 恒成立，$\mathbf{R}$ 上递增无极值点。
3. $a>0$ 时 $f^{\prime }$ 的零点 $\pm \sqrt{a}$：$x=-\sqrt{a}$ 极大值点，$x=\sqrt{a}$ 极小值点。

✅【答案】

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(1) $a=4$，$b=24$ (2) $a<0$ 时 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，无极值点；$a>0$ 时增区间 $(-\infty ,-\sqrt{a})$、$(\sqrt{a},+\infty )$，减区间 $(-\sqrt{a},\sqrt{a})$，极大值点 $x=-\sqrt{a}$，极小值点 $x=\sqrt{a}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $f^{\prime }(x)=3x^2-3a$。直线 $y=8$ 是水平直线，曲线在 $(2,f(2))$ 处与其相切，故 $f^{\prime }(2)=12-3a=0⟹a=4,$ 且 $f(2)=8-6a+b=8$。代入 $a=4$ 得 $8-24+b=8$，即 $b=24$。

（2） $f^{\prime }(x)=3(x^2-a)$，$a\ne 0$。 当 $a<0$ 时，$x^2-a>0$ 恒成立，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，无极值点。 当 $a>0$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x=\pm \sqrt{a}$：

• $x\in (-\infty ,-\sqrt{a})$ 或 $x\in (\sqrt{a},+\infty )$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• $x\in (-\sqrt{a},\sqrt{a})$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。 故 $x=-\sqrt{a}$ 是极大值点（极大值 $b+2a^{\frac{3}{2}}$），$x=\sqrt{a}$ 是极小值点（极小值 $b-2a^{\frac{3}{2}}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义与切线、单调性与极值

核心方法：切线条件定参 + 分类讨论判号

避坑指南：水平切线 $y=8$ 同时给两个条件：$f^{\prime }(2)=0$ 与 $f(2)=8$，只列一个解不出 $a$、$b$；(2) 别忘 $a<0$ 这一类的讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数切线与极值是导数解答题基础模板。

结论推广：$f^{\prime }(x_0)=0$ 且切点在曲线上，两条件联立。

方法推广：$f^{\prime }(x)=3(x^2-a)$ 的符号由 $x^2-a$ 决定，$a$ 的符号决定是否恒正。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-19 解-三次函数极值
• 2011-天津卷文-19 解-导数切线单调与零点
• 2013-北京卷文-18 解-导数切线交点