2011-上海卷理-12 填-期望

本题导读

本题考查古典概型，以及对立事件概率公式。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 随机抽取的 9 位同学中，至少有 2 位同学在同一月份出生的概率为$\underline{}$.（默认每个月的天数相同，结果精确到 0.001）

🔍【思路分析】

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1. 样本空间：每位同学出生月份有 12 种可能，9 位同学的月份组合总数为 $12^9$。
2. 对立事件：“至少有 2 位同学在同一月份出生”的对立事件是“9 位同学的出生月份互不相同”，其可能情况总数为 ${\text{A}}_{12}^9$。
3. 计算对立事件概率 $P(\overline{A})=\frac{{\text{A}}_{12}^9}{12^9}$，再用 $P(A)=1-P(\overline{A})$ 算出结果并精确到 0.001。

✅【答案】

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0.954

✍【详细解析】

Abstract

默认每个月的天数相同，则每位同学出生在 1 至 12 月中任意一个月份的概率均为 $\frac{1}{12}$。 9 位同学出生月份的所有可能情况总数为： $N=12^9$ 记事件 $A$ 为“至少有 2 位同学在同一月份出生”， 则其对立事件 $\overline{A}$ 为“9 位同学各自在不同的月份出生”。 从 12 个月份中选取 9 个不同月份安排给 9 位同学，可能的情况数为： $m={\text{A}}_{12}^9=12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4$ 所以对立事件的概率为： $P(\overline{A})=\frac{{\text{A}}_{12}^9}{12^9}=\frac{12}{12}\times \frac{11}{12}\times \frac{10}{12}\times \frac{9}{12}\times \frac{8}{12}\times \frac{7}{12}\times \frac{6}{12}\times \frac{5}{12}\times \frac{4}{12}$ 约分化简并逐步计算数值： $P(\overline{A})=1\times \frac{11}{12}\times \frac{5}{6}\times \frac{3}{4}\times \frac{2}{3}\times \frac{7}{12}\times \frac{1}{2}\times \frac{5}{12}\times \frac{1}{3}$ $=\frac{11\times 5\times 3\times 2\times 7\times 1\times 5\times 1}{12\times 6\times 4\times 3\times 12\times 2\times 12\times 3}=\frac{11\times 5\times 7\times 5}{12\times 6\times 4\times 12\times 12}=\frac{1925}{41472}\approx 0.0464$ 因此所求概率为： $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{1925}{41472}=\frac{39547}{41472}\approx 1-0.0464=0.9536\approx 0.954$ 故答案为：0.954。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：对立事件概率转化法、“生日悖论”概率模型。
• 核心方法：遇到“至少有 2 个”必须使用正难则反对立事件公式 $P=1-\frac{{\text{A}}_n^k}{n^k}$。
• 避坑指南：四舍五入精确到千分位（第三位小数），保留三位有效数字为 0.954。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：概率论中最经典的“生日悖论（Birthday Problem）”月份离散化模型。
• 结论推广：从 $M$ 个等可能箱子中随机放入 $k$ 个小球，至少两球同箱的概率为 $1-\frac{{\text{A}}_M^k}{M^k}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷文-18 解-志愿者选取概率
• 2008-广东卷文-19 解-分层抽样与古典概型
• 2008-江西卷文-11 单-古典概型计数