本题导读
本题考查直线与平面垂直的判定与性质。核心在于面面垂直性质定理、构造平行四边形证线面平行的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2013年北京卷(文)） 如图，在四棱锥 中，，，，平面 底面 ，， 和 分别是 和 的中点. 求证：
(1) 底面 ;
(2) 平面 ;
(3)平面 平面 .
/2013-北京卷文-17-题.png)
🔍【思路分析】
破题导航
- (1) 交线为 ： 平面 且 ，用面面垂直的性质定理。
- (2) 且 → 四边形 是平行四边形 → 。
- (3) 先证 平面 → 平面 → ；、 → 平面 。
✅【答案】
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(1)(2)(3) 见解析
✍【详细解析】
Abstract
(1) 平面 平面 ，且两平面的交线为 。因为 平面 且 ，由两平面垂直的性质定理，得 (2) 因为 是 的中点，所以 。又 ，所以四边形 是平行四边形，从而 。 平面 ，而 在底面内且不在 上，所以 平面 。故 (3) 由 及 ，得 ；又 ，所以 。 由 (1) 知 底面 ，故 。于是 垂直于平面 内相交的两条直线 和 ，从而 又 ，所以 平面 ，进而 。 在 中，、 分别是 、 的中点，所以 ，从而 。 与 是平面 内相交的两条直线，且都垂直于 ，所以 又 平面 ，故
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：线面垂直、线面平行与面面垂直的证明
核心方法：面面垂直性质定理定 底面； 且 构造平行四边形 ；中位线 沟通 的垂直链
避坑指南：证垂直先抓”枢纽直线”： 垂直于平面 内两条相交直线（、）是第 (3) 问的全局起点——由 传递给 ，再借中位线传给 ；写平行/垂直结论时判定定理条件要一条条列全（相交、在面内）。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：空间位置关系的综合证明（北京卷立体几何解答题固定题型）。
结论推广：面面垂直的性质定理：两平面垂直，交线垂直于其中一平面内垂直于交线的直线；线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理；三角形中位线平移。
方法推广：立体几何证明通用链：线线 → 线面 → 面面逐级上升，每步写定理名称并验证全部条件；中点条件优先想中位线或倍长构造平行四边形。
🔗【关联脉络】
Multi column