2013-山东卷理-16 填-分段函数

本题导读

本题考查函数的概念，以及分段函数。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 定义“正数对”：${\ln }^{+}x=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x<1\\ \ln x,& x\ge 1\end{array}$，现有四个命题：

① 若 $a>0,b>0$，则 ${\ln }^{+}(a^b)=b{\ln }^{+}a$；

② 若 $a>0,b>0$，则 ${\ln }^{+}(ab)={\ln }^{+}a+{\ln }^{+}b$；

③ 若 $a>0,b>0$，则 ${\ln }^{+}(\frac{a}{b})\ge {\ln }^{+}a-{\ln }^{+}b$；

④ 若 $a>0,b>0$，则 ${\ln }^{+}(a+b)\le {\ln }^{+}a+{\ln }^{+}b+2$.

其中的真命题有 $\underline{}$（写出所有真命题的序号）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解定义：${\ln }^{+}x$ 本质上是将 $\ln x$ 与 0 比较取最大值，即 ${\ln }^{+}x=\max \{0,\ln x\}$。其图象在 $(0,1)$ 上是常数 0，在 $[1,+\infty )$ 上是对数曲线。
2. 逐项判定：
   • ① 命题：讨论 $a\ge 1$ 和 $a<1$ 两种情况，验证两侧是否相等。
   • ② 命题：寻找反例。考虑一个大于 1，一个小于 1，但积小于 1 的情况。
   • ③ 命题：分 $a\ge b$ 和 $a<b$ 情况讨论，利用 $\ln x$ 的单调性证明。
   • ④ 命题：利用对数的加法性质和常数缩放进行讨论。

✅【答案】

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①③④

✍【详细解析】

Abstract

① 判定：

• 若 $a\ge 1$，则 $a^b\ge 1$（由于此处 $b$ 可正可负，需细化：若 $b>0$ 则 $a^b\ge 1$，左边为 $\ln a^b=b\ln a$，右边为 $b\ln a$，相等；若 $b$ 为正数，题干虽未显式说明 $b$ 的范围，但根据对数运算法则惯例及后续命题，通常默认为正实数。若 $b>0$，命题正确）。
• 若 $a<1$，则 ${\ln }^{+}a=0$，右边为 0。此时 $a^b<1$，左边 ${\ln }^{+}(a^b)=0$，相等。 故 ① 正确。

② 判定（特值法）： 令 $a=2,b=\frac{1}{2}$。

• ${\ln }^{+}(ab)={\ln }^{+}1=0$。
• ${\ln }^{+}a+{\ln }^{+}b=\ln 2+0=\ln 2$。 $0\ne \ln 2$，故 ② 错误。

③ 判定：

• 若 $a\ge b$，则 $\frac{a}{b}\ge 1$，左边 $=\ln a-\ln b$。
  • 若 $b\ge 1$，右边 $=\ln a-\ln b$，左 $=$ 右。
  • 若 $b<1$，右边 $={\ln }^{+}a-0=\ln a$。此时 $\ln a-\ln b>\ln a$（因为 $\ln b<0$），左 $>$ 右。
• 若 $a<b$，则 $\frac{a}{b}<1$，左边 $=0$。
  • 若 $a\ge 1$，则 $b>a\ge 1$，右边 $=\ln a-\ln b<0$，左 $>$ 右。
  • 若 $a<1$，右边 $=0-{\ln }^{+}b\le 0$，左 $\ge$ 右。 故 ③ 正确。

④ 判定： 由于 $a+b<(a+1)(b+1)$（当 $a,b>0$ 时恒成立）， 则 ${\ln }^{+}(a+b)<{\ln }^{+}((a+1)(b+1))={\ln }^{+}(a+1)+{\ln }^{+}(b+1)$。 又根据对数增长速度，$\ln (x+1)<\ln x+1$ 在 $x$ 较大时成立。综合缩放可知此不等式成立。 （更严谨证明需分类讨论 $a,b$ 与 1 的关系，发现最大差值不会超过常数 2）。 故 ④ 正确。

故填入答案为：①③④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的解析式应用；对数运算性质的适用范围。

核心方法：分类讨论。在处理涉及 1 为分界点的对数新定义时，必须对变量相对于 1 的位置进行全情况覆盖。

避坑指南：不要想当然套用对数公式 $\ln (ab)=\ln a+\ln b$，因为新定义函数在值域上做了“截断（下限为0）”，原有的恒等式变成了不等式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的最大值函数 $f(x)=\max \{g(x),h(x)\}$ 的连续性与单调性。

结论推广：该定义 ${\ln }^{+}x$ 在高等数学中常被称为对数的“正部”，常用于积分判别法或实变函数中。

方法推广：面对抽象命题判定，“反例排除” 往往比正向证明快得多（如本题的②）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-04 单-分段函数
• 2015-浙江卷文-12 填-分段函数
• 2015-新课标I卷文-10 单-分段函数