2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和

本题导读

本题考查等差数列。核心在于方程组法、差分法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_4=4S_2$，$a_{2n}=2a_n+1$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)设数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，且 $T_n+\frac{a_n+1}{2^n}=\lambda$（$\lambda$ 为常数）.令 $c_n=b_{2n}$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $R_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求 $a_n$）：利用等差数列基本量 $a_1,d$。由 $S_4=4S_2$ 建立第一个方程，由 $a_2=2a_1+1$ 建立第二个方程，解方程组即可。
2. 第二问（求 $R_n$）：
   • 求 $b_n$：已知 $T_n$ 与 $a_n$ 的关系，先代入 $a_n$ 得到 $T_n=\lambda -\frac{2n}{2^n}=\lambda -\frac{n}{2^{n-1}}$。利用 $b_n=T_n-T_{n-1}$ 求出 $b_n$ 的通项（注意 $n=1$ 的验证）。
   • 求 $c_n$：由 $c_n=b_{2n}$ 代入得到 $c_n=\frac{n-1}{4^{n-1}}$（或类似形式）。
   • 求和：观察 $c_n$ 的结构，它是“一次函数 $\times$ 指数函数”的形式，属于典型的错位相减法应用场景。

✅【答案】

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所以 $a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1$。；则 $c_n=b_{2n}=\frac{2n-2}{2^{2n-1}}=\frac{2(n-1)}{2\cdot 4^{n-1}}=\frac{n-1}{4^{n-1}}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 由 $a_{2n}=2a_n+1$，取 $n=1$ 得 $a_2=2a_1+1$，即 $(a_1+d)=2a_1+1$，整理得 $d=a_1+1$ ①。 由 $S_4=4S_2$ 得：$4a_1+\frac{4\times 3}{2}d=4(2a_1+d)$。 化简得：$4a_1+6d=8a_1+4d⟹2d=4a_1⟹d=2a_1$ ②。 联立 ①② 解得：$a_1=1,d=2$。 所以 $a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1$。

（2）解： 把 $a_n=2n-1$ 代入 $T_n+\frac{a_n+1}{2^n}=\lambda$ 得： $T_n=\lambda -\frac{2n}{2^n}=\lambda -\frac{n}{2^{n-1}}$。 当 $n=1$ 时，$b_1=T_1=\lambda -1$。 当 $n\ge 2$ 时： $b_n=T_n-T_{n-1}=\left(\lambda -\frac{n}{2^{n-1}}\right)-\left(\lambda -\frac{n-1}{2^{n-2}}\right)=\frac{2(n-1)-n}{2^{n-1}}=\frac{n-2}{2^{n-1}}$。 代入 $n=1$ 验证，$b_1=\frac{1-2}{2^0}=-1$，与 $\lambda -1$ 的关系决定了 $\lambda$ 必须抵消常数项。由题意 $\{b_n\}$ 存在，此时 $b_n=\frac{n-2}{2^{n-1}}$。 则 $c_n=b_{2n}=\frac{2n-2}{2^{2n-1}}=\frac{2(n-1)}{2\cdot 4^{n-1}}=\frac{n-1}{4^{n-1}}$。 求 $R_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$： $R_n=0+\frac{1}{4^1}+\frac{2}{4^2}+\cdots +\frac{n-1}{4^{n-1}}$ ③ $\frac{1}{4}{R}_n=0+0+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{n-2}{4^{n-1}}+\frac{n-1}{4^n}$ ④ ③ - ④ 得： $\frac{3}{4}{R}_n=\left(\frac{1}{4^1}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{4^{n-1}}\right)-\frac{n-1}{4^n}$ 利用等比数列求和公式： $\frac{3}{4}{R}_n=\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{4^{n-1}})}{1-\frac{1}{4}}-\frac{n-1}{4^n}=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{4^{n-1}})-\frac{n-1}{4^n}$ 整理得：$R_n=\frac{4}{9}\left(1-\frac{3n+1}{4^n}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列基本运算及错位相减法求和。

核心方法：见详细解析

避坑指南：* 在由 $T_n$ 求 $b_n$ 时，一定要注意 $n=1$ 的首项情况。虽然很多大题最后能统一，但步骤分不可丢。 * 错位相减法的最后一步计算（整理多项式）极易出错，建议养成代入 $n=1$ 或 $n=2$ 进行验算的习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列基本运算及错位相减法求和。

结论推广：凡是形如 $a_n=(An+B)\cdot q^n$ 的数列求和，均可使用错位相减法。

方法推广：数列中“求通项”与“求和”往往是环环相扣的，第一步的准确性直接决定全题分值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2025-上海卷-03 填-等差数列前n项和
• 2026-新高考I卷-07 单-等差数列通项
• 2025-新高考II卷-07 单-等差前n项和