2015-湖南卷文-05 单-程序框图

本题导读

$n=3$ 时循环执行 3 次，$S=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}=\frac{3}{7}$。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 执行如图所示的程序框图，如果输入 $n=3$，则输出的 $S=$ ()

A. $\frac{6}{7}$　　　　　　　B. $\frac{3}{7}$　　　　　　　C. $\frac{8}{9}$　　　　　　　D. $\frac{4}{9}$

🔍【思路分析】

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$n=3$ 时循环执行 3 次，$S=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}=\frac{3}{7}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

程序从 $i=1$、$S=0$ 开始，每次将 $\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}$ 加入 $S$，再令 $i=i+1$。输入 $n=3$ 时，循环在 $i=1,2,3$ 时执行，因此

$S=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{7}\right)=\frac{3}{7}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：程序框图的循环结构；裂项求和

核心方法：确定循环次数 + 裂项相消

避坑指南：循环条件是 ”$i>n?"$，$i=3$ 时仍要执行一次累加，循环共 3 次不是 2 次。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：程序框图与数列求和嫁接是框图题的主流命题方式，本题裂项结构与第 19 题数列大题呼应。

结论推广：一般地 $\sum _{i=1}^n\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}=\frac{n}{2n+1}$；$n=3$ 时 $\frac{3}{7}$ 与枚举一致。

方法推广：框图题先数循环次数，再识别累加通项的结构（等差/等比/裂项）套公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

• 2015-湖南卷理-3
• 2014-湖南卷理-06 单-程序框图
• 2013年湖南卷理-13