2017-上海卷-18 解-三角综合

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于公式变换法、数形结合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 已知函数 $f(x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+\frac{1}{2}$，$x\in (0,\pi )$.

(1)求 $f(x)$ 的单调递增区间；

(2)设 $△ABC$ 为锐角三角形，角 $A$ 所对边 $a=\sqrt{19}$，角 $B$ 所对边 $b=5$，若 $f(A)=0$，求 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（单调性）：

• 化简解析式：利用二倍角公式 $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$，将函数化为 $f(x)=\cos 2x+\frac{1}{2}$。
• 求单调增区间：余弦函数 $y=\cos u$ 的单调增区间为 $[2k\pi -\pi ,2k\pi ]$。令 $2k\pi -\pi \le 2x\le 2k\pi$，解出 $x$ 的范围，并结合 $x\in (0,\pi )$ 取交集。

2. 第二问（面积）：

• 求角 $A$：由 $f(A)=0$ 得 $\cos 2A=-1/2$。由于 $△ABC$ 是锐角三角形，确定 $A$ 的具体值。
• 求角 $B$：已知 $a,b,A$，利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 求出 $\sin B$，进而根据锐角三角形条件求出 $\cos B$。
• 计算面积：利用 $\sin C=\sin (A+B)$ 算出 $\sin C$，最后应用面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$。

✅【答案】

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$（1）(\pi 2,\pi ).（2）15\surd 34$

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)因为 $f(x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+\frac{1}{2}=\cos 2x+\frac{1}{2}$。 由 $2k\pi -\pi \le 2x\le 2k\pi$，$k\in \mathbb{Z}$， 得 $k\pi -\frac{\pi }{2}\le x\le k\pi$，$k\in \mathbb{Z}$。 又因为 $x\in (0,\pi )$， 当 $k=1$ 时，$\frac{\pi }{2}\le x<\pi$。 所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $[\frac{\pi }{2},\pi )$。

(2)因为 $f(A)=0$，即 $\cos 2A+\frac{1}{2}=0$，则 $\cos 2A=-\frac{1}{2}$。 由于 $△ABC$ 为锐角三角形，则 $0<A<\frac{\pi }{2}$，得 $0<2A<\pi$。 所以 $2A=\frac{2\pi }{3}$，即 $A=\frac{\pi }{3}$。 在 $△ABC$ 中，$a=\sqrt{19}$，$b=5$，$A=\frac{\pi }{3}$， 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得： $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{19}}=\frac{5\sqrt{57}}{38}$。 因为 $△ABC$ 为锐角三角形，所以 $\cos B=\sqrt{1-{\sin }^{2}B}=\sqrt{1-\frac{25\times 57}{38^2}}=\frac{\sqrt{19}}{38}$。 则 $\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{19}}{38}+\frac{1}{2}\times \frac{5\sqrt{57}}{38}=\frac{3\sqrt{57}}{38}$。 所以 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times \sqrt{19}\times 5\times \frac{3\sqrt{57}}{38}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 倍角公式的应用：这是三角函数题的常用起手式，务必熟练掌握 $\sin 2x,\cos 2x$ 的各种变形。
• 隐含条件的挖掘：“锐角三角形”意味着 $A,B,C$ 均在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 之间，这在利用正弦值求余弦值，以及判定角的大小关系时起关键作用。
• 运算准确性：本题涉及较多根号运算（如 $\sqrt{19},\sqrt{57}$），在考场上需仔细核对，避免因计算失误丢分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若不求 $\sin C$，能否通过余弦定理求出边 $c$？（提示：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，代入可得关于 $c$ 的二次方程 $19=25+c^2-5c$，解得 $c=2$ 或 $3$。结合锐角三角形条件进行取舍）。
2. 知识关联：本题体现了“三角函数性质”与“解三角形”的无缝衔接，是高考解答题前两道题的经典模式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2020-浙江卷-18 解-三角综合
• 2021-浙江卷-18 解-三角综合
• 1977-山东B-02 解-对数与三角综合