2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域

本题导读

本题求含根式与对数的分式函数定义域：被开方数非负、真数正、分母非零，三个条件联立。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{\sqrt{|x-2|-1}}{{\log }_2(x-1)}$ 的定义域为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 被开方数：$|x-2|-1⩾0$，得 $x⩾3$ 或 $x⩽1$。
2. 对数真数：$x-1>0$；分母非零：${\log }_2(x-1)\ne 0$ 即 $x\ne 2$。
3. 取交集。

✅【答案】

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$[3,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

要使函数有意义，需 $\{\begin{array}{l}|x-2|-1⩾0,\\ x-1>0,\\ {\log }_2(x-1)\ne 0.\end{array}$ 由 $|x-2|⩾1$ 得 $x⩾3$ 或 $x⩽1$；由 $x-1>0$ 得 $x>1$；由 ${\log }_2(x-1)\ne 0$ 得 $x\ne 2$。 三者取交集：$x⩾3$（此时 $x\ne 2$ 自动满足）。 所以定义域为 $[3,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：根式与对数的定义域

核心方法：被开方数非负、真数正、分母非零三条件联立

避坑指南：分母 ${\log }_2(x-1)$ 只需不等于零，但与 $x>1$ 结合后 $x⩽1$ 整段被排除，定义域是 $[3,+\infty )$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 江西文第 2 题、2011 安徽文第 13 题同考函数定义域。

结论推广：根式、对数、分母三类限制条件联立取交。

方法推广：分母只需非零，但与真数为正结合后往往整体改变解集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-02 单-函数定义域
• 2009-福建卷文-02 单-函数定义域
• 2011-安徽卷文-13 填-根式函数定义域
• 2010-广东卷文-02 单-对数函数定义域