2009-北京卷文-11 填-线性规划最值

本题导读

考查线性规划。可行域三角形顶点 $(4,5)$，$s=x+y$ 在该顶点取最大 $9$。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 若实数 $x$，$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x+y-2⩾0,\\ x⩽4,\\ y⩽5,\end{array}$ 则 $s=x+y$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 可行域是以 $(4,5)$、$(-3,5)$、$(4,-2)$ 为顶点的三角形。
2. $s=x+y$ 随直线右上方平移增大，最大在顶点 $(4,5)$。

✅【答案】

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$9$

✍【详细解析】

Abstract

可行域是由 $x+y⩾2$、$x⩽4$、$y⩽5$ 围成的三角形，顶点为 $(4,5)$、$(-3,5)$、$(4,-2)$。 目标函数 $s=x+y$ 对应的直线越靠右上方 $s$ 越大，故在顶点 $(4,5)$ 处取得最大值 $s_{\max }=4+5=9.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：简单的线性规划

核心方法：画可行域 + 截距平移

避坑指南：目标函数 $s=x+y$ 沿直线 $x+y=s$ 的法方向增大，最值在可行域顶点处取；顶点坐标解方程组求，别估读。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元一次不等式组与线性规划是文数高频小题。

结论推广：$x+y⩾2$ 表示直线 $x+y=2$ 右上方（含直线）的半平面。

方法推广：三个约束两两相交出三个顶点，逐一代入目标函数比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划
• 2011-新课标卷文-14 填-线性规划
• 2011-浙江卷文-03 单-线性规划最值