2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称

本题导读

考查图象对称性。真数 $\frac{2-x}{2+x}$ 分子分母互换后取倒数，恰得 $f(-x)=-f(x)$，为奇函数。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 函数 $y={\log }_2\frac{2-x}{2+x}$ 的图象 ()

A. 关于原点对称　　　　　　　　　　　　B. 关于直线 $y=-x$ 对称

C. 关于 $y$ 轴对称　　　　　　　　　　　　D. 关于直线 $y=x$ 对称

🔍【思路分析】

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1. 定义域：$\frac{2-x}{2+x}>0⟺-2<x<2$，关于原点对称。
2. $f(-x)={\log }_2\frac{2+x}{2-x}=-{\log }_2\frac{2-x}{2+x}=-f(x)$，奇函数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

定义域：$\frac{2-x}{2+x}>0⟺-2<x<2$，关于原点对称。 对任意 $x\in (-2,2)$， $f(-x)={\log }_2\frac{2+x}{2-x}={\log }_2{\left(\frac{2-x}{2+x}\right)}^{-1}=-{\log }_2\frac{2-x}{2+x}=-f(x),$ 故 $f(x)$ 为奇函数，图象关于原点对称，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型函数的奇偶性与图象对称

核心方法：先定定义域再验证 $f(-x)=-f(x)$

避坑指南：真数 $\frac{2-x}{2+x}$ 要求 $-2<x<2$，定义域关于原点对称是谈奇偶性的前提，别跳过。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数分式真数取倒即变号，是奇函数的经典结构。

结论推广：$f(-x)={\log }_2\frac{2+x}{2-x}=-{\log }_2\frac{2-x}{2+x}$。

方法推广：判断图象对称先看奇偶，奇函数关于原点、偶函数关于 $y$ 轴。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-05 单-对数函数图象
• 2014-山东卷文-06 单-对数函数图象
• 2013-辽宁卷文-07 单-奇函数对数求值