2009-陕西卷文-08 单-向量中点数量积

本题导读

考查向量运算。$AP=\frac{2}{3}$，$PM=\frac{1}{3}$，$\overrightarrow{PA}\cdot 2\overrightarrow{PM}=-2\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=-\frac{4}{9}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$M$ 是 $BC$ 的中点，$AM=1$，点 $P$ 在 $AM$ 上且满足 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PM}$，则 $\overrightarrow{PA}\cdot (\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$ 等于 ()

A. $\frac{4}{9}$　　　　　　B. $\frac{4}{3}$　　　　　　C. $-\frac{4}{3}$　　　　　　D. $-\frac{4}{9}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PM}$ 且 $AM=1$：$AP=\frac{2}{3}$，$PM=\frac{1}{3}$。
2. $M$ 是 $BC$ 中点：$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PM}$。
3. $\overrightarrow{PA}$ 与 $\overrightarrow{PM}$ 反向：$\overrightarrow{PA}\cdot 2\overrightarrow{PM}=-2\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=-\frac{4}{9}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PM}$ 及 $AM=1$，得 $AP=\frac{2}{3}$，$PM=\frac{1}{3}$。 因为 $M$ 是 $BC$ 的中点，所以 $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PM}.$ 又 $\overrightarrow{PA}$ 与 $\overrightarrow{PM}$ 方向相反，故 $\overrightarrow{PA}\cdot (\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})=2\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PM}=-2\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=-\frac{4}{9}.$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：中点向量恒等式与数量积

核心方法：$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PM}$，共线向量数量积化模长乘积

避坑指南：$\overrightarrow{PA}$ 与 $\overrightarrow{PM}$ 方向相反，数量积取负号，得 $-\frac{4}{9}$ 而非 $\frac{4}{9}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：中点恒等式是向量法处理三角形中线问题的核心工具。

结论推广：$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PM}$ 时 $P$ 恰为三角形重心，重心分中线 $2:1$ 的性质可与本题互推。

方法推广：共线向量的数量积：同向取正、反向取负，模长相乘。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-08 单-双曲线数量积
• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角
• 2009-北京卷文-02 单-向量共线
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