2012-辽宁卷理-05 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合与计数原理，以及捆绑法。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在在一起，则不同的坐法种数为 ()

A. $3\times 3!$　　　　　B. $3\times (3!{)}^3$　　　　　C. $(3!{)}^4$　　　　　D. $9!$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别典型模型：题目要求“每家人坐在一起”，属于元素要求相邻的排列问题，标准解题策略是捆绑法。
2. 第一步：大整体全排列

• 将 3 个三口之家分别打包，视作 3 个不可分割的“大元素”。
• 对这 3 个“大元素”进行全排列，决定家庭之间的左右相对顺序。

3. 第二步：小局部内排列

• 每一个三口之家内部有 3 位成员，家庭内部成员的座位顺序也是可变的。
• 分别对这 3 个家庭内部的 3 名成员单独进行内部全排列。

4. 第三步：分步乘法合拢

• 依据分步乘法计数原理，将大整体排列数与各个小局部内部排列数相乘，即得最终总数。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 题目要求 3 个三口之家的每家人必须坐在一起， 所以 采用“捆绑法”将每家人的 3 口人分别看作一个整体（即捆绑成一个大元素）。

• 分步一：家庭整体大排列 将 3 个家庭整体视为 3 个不同的个体，安排这 3 个家庭在座位上的先后顺序，其不同的排列方式种数为： $A_3^3=3!$

• 分步二：各个家庭内部小排列 对于每一个家庭内部， 3 口人之间的相对座位顺序也是有差异的：

• 第一个家庭内部 3 口人的全排列种数为： $A_3^3=3!$

• 第二个家庭内部 3 口人的全排列种数为： $A_3^3=3!$

• 第三个家庭内部 3 口人的全排列种数为： $A_3^3=3!$

根据分步乘法计数原理，将上述所有步骤的排列方式数相乘，得到不同坐法的总种数为： $N=3!\times 3!\times 3!\times 3!=(3!{)}^4$

故选 C#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：相邻元素处理的捆绑思想、分步计数原理的连乘法则。
2. 核心方法：整体捆绑法。
3. 避坑指南：

• 漏乘家庭内部的全排列，误认为家庭绑定后人员顺序固定，从而错选 $3!$ 的相关变形。
• 误将分步乘法当成因数相加。牢记“完成一件事需要分步进行，各步方法数用乘法”。
• 分步一（大排列 $3!$ ）与分步二（每个家庭内排列 $3!$ ），总共有 4 个 $3!$ 相乘，不要少算或漏算大排列的那个 $3!$ 从而误选 (B)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第六章《计数原理》中关于常见排列组合应用题（相邻问题）的课后经典主干基础题。
2. 结论推广：本题可推广至一般的群组相邻排列模型：若有 $m$ 个群体，每个群体内部包含 $n_i$ 个相异元素（ $i=1,2,\cdots ,m$ ）。若要求相同群体的元素必须紧密相邻排成一排，则通项总排列数为： $N=m!\cdot {\prod }_{i=1}^m(n_i!)$ 本题中 $m=3$，且各个群体的内部人数均相同满足 $n_1=n_2=n_3=3$，直接套用推广模型可秒得 $3!\times (3!{)}^3=(3!{)}^4$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略 类题演练 (Links)

• 2014-四川卷理-06 单-分类加法计数原理

• 1989-全国卷理-12 单-排列计数

• 2001-大纲理-16 填-圆周角定理