2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义

本题导读

本题考查抛物线，以及抛物线的定义与几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 11. 设抛物线 $C:y^2=2px$ ($p>0$) 的焦点为 $F$，点 $M$ 在 $C$ 上，$|MF|=5$.若以 $MF$ 为直径的圆过点 $(0,2)$，则 $C$ 的方程为()

A. $y^2=4x$ 或 $y^2=8x$　　　　　　　　B. $y^2=2x$ 或 $y^2=8x$

C. $y^2=4x$ 或 $y^2=16x$　　　　　　　　D. $y^2=2x$ 或 $y^2=16x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用抛物线定义：
   • 设 $M(x_0,y_0)$，焦点 $F(\frac{p}{2},0)$。根据抛物线定义，$|MF|=x_0+\frac{p}{2}=5$，由此可得 $x_0=5-\frac{p}{2}$。
2. 分析圆的特征：
   • 圆以 $MF$ 为直径，则圆心 $Q$ 为 $MF$ 的中点，半径 $r=\frac{|MF|}{2}=\frac{5}{2}$。
   • 圆心坐标 $Q(\frac{x_0+\frac{p}{2}}{2},\frac{y_0}{2})=(\frac{5}{2},\frac{y_0}{2})$。
3. 利用圆过定点条件：
   • 圆过点 $A(0,2)$。由圆心横坐标为 $\frac{5}{2}$，半径也为 $\frac{5}{2}$ 可知，该圆必然与 $y$ 轴相切。
   • 因为切点为 $(0,\frac{y_0}{2})$，题目给出圆过 $(0,2)$，故切点即为 $(0,2)$，由此得 $\frac{y_0}{2}=2⟹y_0=4$。
4. 建立方程求解：
   • 将 $M(5-\frac{p}{2},4)$ 代入抛物线方程 $y^2=2px$ 求解 $p$。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract


第一步：利用定义转化焦半径 已知抛物线 $C:y^2=2px$ ($p>0$)，焦点 $F(\frac{p}{2},0)$。 点 $M(x_0,y_0)$ 在抛物线上，根据焦半径公式： $|MF|=x_0+\frac{p}{2}=5$ 解得 $x_0=5-\frac{p}{2}$。

第二步：分析以 $MF$ 为直径的圆 圆心 $Q$ 为 $MF$ 的中点，坐标为： $x_Q=\frac{x_0+\frac{p}{2}}{2}=\frac{(5-\frac{p}{2})+\frac{p}{2}}{2}=\frac{5}{2}$。 圆的半径 $r=\frac{|MF|}{2}=\frac{5}{2}$。

第三步：利用圆与 $y$ 轴的位置关系 由于圆心横坐标 $x_Q=\frac{5}{2}$ 等于半径 $r=\frac{5}{2}$， 所以该圆与 $y$ 轴相切。 切点的纵坐标应等于圆心的纵坐标 $y_Q=\frac{y_0}{2}$。 已知圆过点 $(0,2)$，该点在 $y$ 轴上，故 $(0,2)$ 即为切点。 则 $\frac{y_0}{2}=2⟹y_0=4$。

第四步：代入抛物线方程求解 $p$ 将点 $M(5-\frac{p}{2},4)$ 代入 $y^2=2px$： $4^2=2p(5-\frac{p}{2})$ $16=10p-p^2$ $p^2-10p+16=0$ 解得 $p_1=2$ 或 $p_2=8$。

当 $p=2$ 时，方程为 $y^2=4x$； 当 $p=8$ 时，方程为 $y^2=16x$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦半径公式 $|MF|=x_0+\frac{p}{2}$；圆心到切线的距离等于半径。

核心方法：数形结合法。发现“圆心横坐标等于半径”从而推导出“圆与 $y$ 轴相切”是破题的关键。

避坑指南：不要盲目设圆的方程进行繁琐计算，利用几何位置关系（相切）可以极大简化计算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：焦点弦的性质（以焦点弦为直径的圆与准线的位置关系）。

结论推广：以抛物线焦半径为直径的圆必与准线相切。

方法推广：涉及抛物线上的点到焦点的距离，第一反应应当是利用定义转化到点到准线的距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线