2013-江西卷理-01 单-集合交集

本题导读

本题考查集合的运算，以及交集。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） 设集合 $M=\{1,2,zi\}$，$i$ 为虚数单位，$N=\{3,4\}$，$M\cap N=\{4\}$，则复数 $z=$ ()

A. $-2i$　　　　　　B. $2i$　　　　　　C. $-4i$　　　　　　D. $4i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析集合关系：由 $M\cap N=\{4\}$ 可知，元素 $4$ 既属于集合 $N$（已知），也必然属于集合 $M$。
2. 确定元素对应：在集合 $M=\{1,2,zi\}$ 中，前两个元素为实数 $1,2$，故只能是 $zi=4$。
3. 计算复数 $z$：利用复数的除法，将等式 $zi=4$ 变形为 $z=\frac{4}{i}$，进行分母实数化处理。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：根据交集定义确定方程。 因为 $M\cap N=\{4\}$，所以 $4\in M$。 由 $M=\{1,2,zi\}$，得 $zi=4$。

第二步：求解复数 $z$。 $z=\frac{4}{i}$ 分子分母同乘以 $-i$（或利用 $\frac{1}{i}=-i$）： $z=\frac{4(-i)}{i(-i)}=\frac{-4i}{1}=-4i$

故正确答案为：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：- 集合交集的含义：$A\cap B$ 是由所有属于 $A$ 且属于 $B$ 的元素组成的集合。 - 复数单位 $i$ 的性质：$i^2=-1$，由此推导 $\frac{1}{i}=-i$。 2. 常见误区： - 在计算 $\frac{4}{i}$ 时，容易因符号错误误选 D。 - 基础薄弱者可能混淆虚数单位 $i$ 与集合中其他实数的关系。

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的模、共轭复数、复数在坐标系中的几何意义（复平面）。

结论推广：对于复数方程 $az=b$（$a,b$ 为复数且 $a\ne 0$），解为 $z=\frac{b}{a}$。若分母为纯虚数 $ki$，则 $z=-\frac{b}{k}i$。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-01 单-集合交集
• 2015-天津卷文-01 单-集合交补
• 2014-陕西卷文-01 单-集合交集