2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义

本题导读

本题考查抛物线。核心在于联立方程法、韦达定理法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 过抛物线 $E:x^2=2py$ ($p>0$) 的焦点 $F$ 作斜率分别为 $k_1,k_2$ 的两条不同的直线 $l_1,l_2$，且 $k_1+k_2=2$，$l_1$ 与 $E$ 相交于点 $A,B$，$l_2$ 与 $E$ 相交于点 $C,D$.以 $AB,CD$ 为直径的圆分别为圆 $M$, 圆 $N$（$M,N$ 为圆心）.两圆公共弦所在的直线记为 $l$.

(1)若 $k_1>0,k_2>0$，证明：$\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}<2p^2$；

(2)若点 $M$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\frac{7\sqrt{5}}{5}$，求抛物线 $E$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明数量积范围）：
   • 求圆心坐标：焦点 $F(0,\frac{p}{2})$，直线 $l_1:y=k_{1}x+\frac{p}{2}$。联立抛物线方程 $x^2=2py$，得到关于 $x$ 的二次方程。由韦达定理求出 $x_1+x_2$，从而得到 $M$ 点坐标。同理得 $N$ 点坐标。
   • 计算数量积：根据向量坐标运算写出 $\overrightarrow{FM}$ 和 $\overrightarrow{FN}$，并计算其点积。
   • 利用范围约束：结合 $k_1+k_2=2$ 及均值不等式确定 $k_1{k}_2$ 的取值范围，从而证明不等式。
2. 第二问（公共弦与距离最值）：
   • 建立圆方程：利用抛物线定义，圆的半径等于圆心到准线的距离，写出圆 $M$ 和圆 $N$ 的标准方程。
   • 求公共弦 $l$：两圆方程相减，消去二次项，整理得到直线 $l$ 的一般式方程。
   • 距离公式与最值：利用点到直线的距离公式表示 $d(M,l)$，由于 $k_2=2-k_1$，将 $d$ 转化为关于 $k_1$ 的单变量函数，利用二次函数的性质求最小值，进而反求 $p$。

✅【答案】

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故 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}<2p^2$。；故抛物线 $E$ 的方程为 $x^2=16y$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明： 焦点为 $F(0,\frac{p}{2})$，直线 $l_1$ 方程为 $y=k_{1}x+\frac{p}{2}$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=k_{1}x+\frac{p}{2}\\ x^2=2py\end{array}⟹x^2-2p{k}_{1}x-p^2=0$。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由韦达定理知 $x_1+x_2=2p{k}_1$。 圆心 $M$ 为 $AB$ 中点，则 $x_M=\frac{x_1+x_2}{2}=p{k}_1$，$y_M=k_1(p{k}_1)+\frac{p}{2}=p{k}_1^2+\frac{p}{2}$。 即 $M(p{k}_1,p{k}_1^2+\frac{p}{2})$。同理 $N(p{k}_2,p{k}_2^2+\frac{p}{2})$。 由 $F(0,\frac{p}{2})$ 得 $\overrightarrow{FM}=(p{k}_1,p{k}_1^2)$，$\overrightarrow{FN}=(p{k}_2,p{k}_2^2)$。 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=p^2{k}_1{k}_2+p^2{k}_1^2{k}_2^2=p^2(k_1{k}_2+(k_1{k}_2{)}^2)$。 因为 $k_1,k_2>0$ 且 $k_1\ne k_2,k_1+k_2=2$，则 $0<k_1{k}_2<(\frac{k_1+k_2}{2}{)}^2=1$。 令 $t=k_1{k}_2\in (0,1)$，则 $f(t)=t+t^2$ 在 $(0,1)$ 上递增，$f(t)<1+1^2=2$。 故 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}<2p^2$。

（Ⅱ）解： 以 $AB$ 为直径的圆 $M$ 半径为 $r_1=\frac{1}{2}|AB|$。由抛物线定义，$|AB|=y_1+y_2+p=2p{k}_1^2+2p$，故 $r_1=p{k}_1^2+p$。 圆 $M$ 方程：$(x-p{k}_1{)}^2+(y-p{k}_1^2-\frac{p}{2}{)}^2=(p{k}_1^2+p{)}^2$，化简得： $C_M:x^2+y^2-2p{k}_{1}x-p(2k_1^2+1)y-\frac{3}{4}{p}^2=0$。 同理，圆 $N$ 方程： $C_N:x^2+y^2-2p{k}_{2}x-p(2k_2^2+1)y-\frac{3}{4}{p}^2=0$。 两式相减得公共弦 $l$：$2p(k_2-k_1)x+2p(k_2^2-k_1^2)y=0$。 因为 $k_1\ne k_2$，约去 $2p(k_2-k_1)$ 得：$x+(k_1+k_2)y=0$。 已知 $k_1+k_2=2$，故 $l:x+2y=0$。 点 $M(p{k}_1,p{k}_1^2+\frac{p}{2})$ 到 $l$ 的距离 $d=\frac{|p{k}_1+2p{k}_1^2+p|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{p|2k_1^2+k_1+1|}{\sqrt{5}}$。 由于 $2k_1^2+k_1+1=2(k_1+\frac{1}{4}{)}^2+\frac{7}{8}$。 当 $k_1=-\frac{1}{4}$ 时，$d$ 取得最小值 $\frac{p\cdot \frac{7}{8}}{\sqrt{5}}=\frac{7p}{8\sqrt{5}}$。 由题意 $\frac{7p}{8\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{5}⟹\frac{7p}{8\sqrt{5}}=\frac{7}{\sqrt{5}}⟹p=8$。 故抛物线 $E$ 的方程为 $x^2=16y$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线