2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角

本题导读

考查线面垂直与二面角。建系后 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CE}=(-2)+2=0$ 即 $AD\perp CE$；等边时 $h=\sqrt{3}$，将两面向 $AD$ 的垂面投影算得 $\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\theta =\arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 四棱锥 $A-BCDE$ 中，底面 $BCDE$ 为矩形，侧面 $ABC\perp$ 底面 $BCDE$，$BC=2$，$CD=\sqrt{2}$，$AB=AC$.

(1)证明：$AD\perp CE$；

(2)设侧面 $ABC$ 为等边三角形，求二面角 $C-AD-E$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 以 $B$ 为原点建系：$B(0,0,0)$、$C(2,0,0)$、$D(2,\sqrt{2},0)$、$E(0,\sqrt{2},0)$。
2. 侧面 $ABC\perp$ 底面且交线为 $BC$，故平面 $ABC$ 为 $y=0$；$AB=AC$ 给出 $A(1,0,h)$。
3. (1)$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CE}$ 与 $h$ 无关，直接计算数量积为零。
4. (2)等边时 $h=\sqrt{3}$；取 $d=\overrightarrow{DA}$，把 $\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{DE}$ 投影到与 $d$ 垂直的平面，两投影向量夹角即二面角。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)$\arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系，令 $B(0,0,0)$，$C(2,0,0)$，$D(2,\sqrt{2},0)$，$E(0,\sqrt{2},0)$. 底面在平面 $z=0$ 内，且平面 $ABC$ 与底面垂直并包含 $BC$，所以可令平面 $ABC$ 为 $y=0$. 由 $AB=AC$，点 $A$ 在 $BC$ 的垂直平分面内，故设 $A(1,0,h)$，其中 $h>0$. 于是 $\overrightarrow{AD}=(1,\sqrt{2},-h)$，$\overrightarrow{CE}=(-2,\sqrt{2},0)$，从而 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CE}=1\times (-2)+\sqrt{2}\times \sqrt{2}+(-h)\times 0=0.$ 所以 $AD\perp CE$. (2)当侧面 $ABC$ 为等边三角形时，$BC=2$，故等边三角形的高为 $\sqrt{3}$，即 $h=\sqrt{3}$，从而 $A(1,0,\sqrt{3})$. 设 $\theta$ 为二面角 $C-AD-E$ 的大小，取 $d=\overrightarrow{DA}=(-1,-\sqrt{2},\sqrt{3})$，$u=\overrightarrow{DC}=(0,-\sqrt{2},0)$，$v=\overrightarrow{DE}=(-2,0,0)$. 将 $u$ 和 $v$ 分别投影到垂直于 $AD$ 的平面内，所得向量就是两个半平面内与棱垂直的方向. 直接计算得 $|d{|}^2=6$，$u\cdot d=2$，$v\cdot d=2$，$u\cdot v=0$. 因此 $u_{\perp }=u-\frac{u\cdot d}{|d{|}^2}d=u-\frac{1}{3}d=\left(\frac{1}{3},-\frac{2\sqrt{2}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right),$ $v_{\perp }=v-\frac{v\cdot d}{|d{|}^2}d=v-\frac{1}{3}d=\left(-\frac{5}{3},\frac{\sqrt{2}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right).$ 从而 $u_{\perp }\cdot v_{\perp }=-\frac{2}{3},|u_{\perp }{|}^2=\frac{4}{3},|v_{\perp }{|}^2=\frac{10}{3}.$ 于是 $\cos \theta =\frac{u_{\perp }\cdot v_{\perp }}{|u_{\perp }||v_{\perp }|}=\frac{-\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{4}{3}}\sqrt{\frac{10}{3}}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}.$ 故 $\theta =\arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥的垂直证明与二面角

核心方法：$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CE}=0$；投影法 $\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{10}}$

避坑指南：面面垂直给建系合法性（平面 $ABC$ 即 $y=0$）；垂直证明与参数 $h$ 无关可直接算；二面角用”投影到棱的垂面”法，两投影向量夹角即所求。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四棱锥”垂直 + 二面角”是大题标准结构，2009 大纲Ⅰ文第 19 题、2010 大纲Ⅰ文第 20 题同型。

结论推广：面面垂直性质；${\vec{u}}_{\perp }=\vec{u}-\frac{\vec{u}\cdot \vec{d}}{|\vec{d}{|}^2}\vec{d}$（投影公式）；$\cos \theta =\frac{{\vec{u}}_{\perp }\cdot {\vec{v}}_{\perp }}{|{\vec{u}}_{\perp }||{\vec{v}}_{\perp }|}$。

方法推广：建系后先写全坐标；二面角用投影法可避免求法向量，注意 $\cos \theta$ 为负说明是钝二面角，直接保留 $\arccos$ 形式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-19 解-四棱锥二面角
• 2010-大纲卷I文-20 解-四棱锥垂直与二面角
• 2009-湖北卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角