2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率

本题导读

本题由双曲线两焦点到一条准线的距离之比为 $3:2$ 建立关于 $e$ 的方程，解出离心率。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的两个焦点到一条准线的距离之比为 $3:2$，则双曲线的离心率是()

A. $3$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

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1. 设半实轴 $a$、焦半距 $c$、离心率 $e=\frac{c}{a}$，准线 $x=\frac{a}{e}$。
2. 两焦点 $(\pm c,0)$ 到准线距离分别为 $c-\frac{a}{e}$ 与 $c+\frac{a}{e}$，代入比例解 $e$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线的半实轴长为 $a$，焦半距为 $c$，离心率 $e=\frac{c}{a}$，则其准线为 $x=\frac{a}{e}$（另一条 $x=-\frac{a}{e}$）。 取准线 $x=\frac{a}{e}$，两个焦点 $(c,0)$，$(-c,0)$ 到该准线的距离分别为 $c-\frac{a}{e}$ 与 $c+\frac{a}{e}$。 由题意 $\frac{c+\frac{a}{e}}{c-\frac{a}{e}}=\frac{3}{2}$。由 $c=ae$ 得 $\frac{c+\frac{a}{e}}{c-\frac{a}{e}}=\frac{ae+\frac{a}{e}}{ae-\frac{a}{e}}=\frac{e+\frac{1}{e}}{e-\frac{1}{e}}$， 即 $\frac{e^2+1}{e^2-1}=\frac{3}{2}$，解得 $2(e^2+1)=3(e^2-1)$，$e^2=5$。 双曲线离心率为正，故 $e=\sqrt{5}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的准线与离心率

核心方法：两焦点到准线距离之比化为 $e$ 的方程

避坑指南：准线是 $x=\pm \frac{a}{e}$，别写成 $x=\pm \frac{a^2}{c}$ 后忘了约 $a$；$e^2=5$ 开方取正得 $\sqrt{5}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 大纲Ⅰ文第 5 题、2009 湖北文第 5 题同考双曲线离心率。

结论推广：离心率问题本质是把几何条件译成 $a$、$c$ 的方程。

方法推广：焦点到准线的距离要用焦半距 $c$ 与准线方程精确表示。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-05 单-双曲线渐近线离心率
• 2009-湖北卷文-05 单-双曲线准线
• 2010-浙江卷文-10 单-双曲线焦点三角形
• 2009-江西卷文-07 单-双曲线离心率