2009-四川卷理-04 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的性质，通过诱导公式化简函数解析式，进而分析函数的周期性、单调性、对称性与奇偶性。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$ ($x\in \mathbf{R}$)，下面结论错误的是 ()

A. 函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$

B. 函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上是增函数

C. 函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=0$ 对称

D. 函数 $f(x)$ 是奇函数

🔍【思路分析】

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1. 利用诱导公式将 $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$ 化简为较简单的基本三角函数形式。
2. 根据化简后的解析式，逐一验证 A、B、C、D 四个选项的真伪。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

首先化简函数解析式： $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-\cos x$

接下来对选项逐个分析：

• 对于 (A)：函数 $f(x)=-\cos x$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{1}=2\pi$，故 (A) 正确；
• 对于 (B)：当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时，余弦函数 $y=\cos x$ 单调递减，则 $f(x)=-\cos x$ 单调递增，故 (B) 正确；
• 对于 (C)：因为 $f(-x)=-\cos (-x)=-\cos x=f(x)$，所以 $f(x)$ 是偶函数，其图像关于 $y$ 轴（即直线 $x=0$）对称，故 (C) 正确；
• 对于 (D)：由 $f(-x)=f(x)$ 可知 $f(x)$ 为偶函数而非奇函数，故 (D) 错误。

题目要求选出结论错误的选项。

故正确选项为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：诱导公式 $\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$ 的应用，余弦函数的图象与性质。
2. 核心方法：化繁为简，将复合的三角函数形式转化为基本余弦函数，再用基本函数的图象性质直接求解。
3. 避坑指南：注意诱导公式中的符号，$\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$ 而非 $\cos x$；此外，审题时要看清要求选择的是“错误的是”还是“正确的是”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题设计源于人教A版必修四三角函数一章的课后习题。通过平移正弦曲线得到余弦（或负余弦）曲线，是理解三角函数性质演变的标准考法。
2. 结论推广：函数 $y=A\cos (\omega x+\varphi )$ 奇偶性的判定：当且仅当 $\varphi =k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 时，函数为偶函数；当且仅当 $\varphi =k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$ 时，函数为奇函数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数