2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积

本题导读

考查组合体体积。放入三球后水深 $6r$，水的体积不变：$8\pi r^2=6\pi r^3-4\pi r^3=2\pi r^3$，$r^2(2\pi r-8\pi )=0$，$r=4$。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 圆柱形容器内部盛有高度为 $8$ cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 $\underline{}$cm.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设球半径 = 圆柱底面半径为 $r$。三球竖直叠放，总高 $6r$，水恰好淹没最上面的球，即水深 $6r$。
2. 水的体积不变：放入前 $V=8\pi r^2$。
3. 放入后水的体积 = 高 $6r$ 的圆柱体积 − 3 个球的体积 $=6\pi r^3-3\times \frac{4}{3}\pi r^3=6\pi r^3-4\pi r^3=2\pi r^3$。
4. $8\pi r^2=2\pi r^3\Rightarrow r=4$（$r>0$）。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

设球的半径与圆柱的底面半径均为 $r$. 三个球竖直叠放在圆柱内，最上面的球恰好被水淹没，所以水面高度为 $6r$. 放入球前后水的体积不变. 放入前水的体积为 $8\pi r^2$； 放入后水的体积等于高为 $6r$ 的圆柱体积减去三个球的体积，即 $6\pi r^2\cdot r-3\times \frac{4}{3}\pi r^3=6\pi r^3-4\pi r^3=2\pi r^3.$ 由水的体积相等： $8\pi r^2=2\pi r^3.$ 因为 $r>0$，解得 $r=4$. 所以球的半径为 $4$ cm.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱内切球与体积

核心方法：由底面直径等于球直径定半径 $r=4$，再求球体积

避坑指南：圆柱高 $8$、底面直径 $8$，内切球半径 $r=4$；球体积 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球与圆柱内切时，球的直径等于圆柱底面直径（也等于高）。

结论推广：球体积 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$，球表面积 $S=4\pi r^2$；内切时 $2r=$ 底面直径。

方法推广：识别”内切”这一几何条件，把球半径与柱的底半径、高联系起来。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-15 填-内接圆柱侧面积最值
• 2012-上海卷文-05 填-圆柱的表面积
• 2009-江西卷文-14 填-正方体与球
• 2011-辽宁卷文-10 单-球截面棱锥体积