2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系，以及二次函数的最值。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） 函数 $f(x)={\sin }^{2}x+\sqrt{3}\cos x-\frac{3}{4}$（$x\in [0,\frac{\pi }{2}]$）的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一三角函数名称：利用 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$，将 $f(x)$ 转化为关于 $\cos x$ 的二次函数。
2. 换元处理：令 $t=\cos x$。由于 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$，根据余弦函数的单调性确定 $t$ 的取值范围。
3. 求二次函数最值：对关于 $t$ 的二次函数进行配方，确定对称轴。
4. 区间最值判定：观察对称轴是否在 $t$ 的取值范围内，结合二次函数的开口方向确定最大值点。

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✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：化简解析式 利用 ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ 代入原式： $f(x)=(1-{\cos }^{2}x)+\sqrt{3}\cos x-\frac{3}{4}$ $f(x)=-{\cos }^{2}x+\sqrt{3}\cos x+\frac{1}{4}$

第二步：换元并确定范围 令 $t=\cos x$。 因为 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$，所以 $t\in [0,1]$。 原函数转化为：$g(t)=-t^2+\sqrt{3}t+\frac{1}{4}$，$t\in [0,1]$。

第三步：配方求最值 $g(t)=-\left(t^2-\sqrt{3}t\right)+\frac{1}{4}$ $g(t)=-{\left(t-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}$ $g(t)=-{\left(t-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+1$

第四步：结合区间判定 该二次函数的图象开口向下，对称轴为 $t=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 因为 $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866$，且 $0.866\in [0,1]$， 所以当 $t=\frac{\sqrt{3}}{2}$（即 $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2},x=\frac{\pi }{6}$）时，函数取得最大值。 最大值为 $g\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1$。

故答案为：$1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 二次型三角函数：处理这类题目的通用步骤是“一变、二换、三配”。“一变”指统一名称，“二换”指换元并紧盯范围，“三配”指配方法处理二次函数。
• 范围意识：换元后的自变量范围决定了最终的最值，务必根据原自变量 $x$ 的区间推导 $t$ 的区间。
• 计算细节：配方时常数项的抵消与合并需要仔细。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考（求最小值）： 在 $t\in [0,1]$ 上，最小值必在离对称轴较远的端点取得。 $g(0)=\frac{1}{4}$，$g(1)=-1+\sqrt{3}+\frac{1}{4}=\sqrt{3}-\frac{3}{4}$。 比较大小可知，最小值为 $\frac{1}{4}$。

2. 辅助角公式对比： 本题中由于含有 ${\cos }^{2}x$ 项，不能直接使用辅助角公式 $A\sin x+B\cos x$ 求解，必须通过平方关系降次或统一名称。

3. “三个二次”思想： 二次函数、二次方程、二次不等式是高中数学的基石。在解决三角、对数、指数函数的最值时，经常通过换元将其转化为二次函数模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数
• 2013-大纲卷文-02 单-同角三角函数