2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值

本题导读

考查导数综合。由切线方程 $7x-4y-12=0$ 得 $f(2)=\frac{1}{2}$、$f^{\prime }(2)=\frac{7}{4}$，解得 $a=1,b=3$，$f(x)=x-\frac{3}{x}$；任一点切线与 $x=0$、$y=x$ 围成三角形面积恒为 $6$。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 设函数 $f(x)=ax-\frac{b}{x}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程为 $7x-4y-12=0$.

(1)求 $f(x)$ 的解析式；

(2)证明：曲线 $y=f(x)$ 上任一点处的切线与直线 $x=0$ 和直线 $y=x$ 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1)由切线方程求切点纵坐标与切线斜率，得到 $f(2)$ 与 $f^{\prime }(2)$ 的两个方程。
2. 解方程组求 $a,b$。
3. (2)写出任一点 $T(t,f(t))$ 处的切线方程，求它与 $x=0$、$y=x$ 的交点。
4. 计算三角形面积，证明为定值。

✅【答案】

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(1)$f(x)=x-\frac{3}{x}$（$x\ne 0$）；(2)定值为 $6$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由切线方程 $7x-4y-12=0$ 得 $y=\frac{7}{4}x-3$，在 $x=2$ 处切点纵坐标为 $f(2)=\frac{1}{2}$，切线斜率为 $\frac{7}{4}$. $f^{\prime }(x)=a+\frac{b}{x^2}$，故 $\{\begin{array}{l}f(2)=2a-\frac{b}{2}=\frac{1}{2},\\ f^{\prime }(2)=a+\frac{b}{4}=\frac{7}{4}.\end{array}$ 即 $\{\begin{array}{l}4a-b=1,\\ 4a+b=7.\end{array}$ 两式相加得 $8a=8$，$a=1$；两式相减得 $2b=6$，$b=3$. 故 $f(x)=x-\frac{3}{x}$（$x\ne 0$）. (2)设曲线上任一点为 $T(t,f(t))$（$t\ne 0$），则 $f^{\prime }(t)=1+\frac{3}{t^2}$，切线方程为 $y-\left(t-\frac{3}{t}\right)=\left(1+\frac{3}{t^2}\right)(x-t),$ 整理得 $y=\left(1+\frac{3}{t^2}\right)x-\frac{6}{t}$. 它与直线 $x=0$ 的交点为 $P\left(0,-\frac{6}{t}\right)$，与直线 $y=x$ 的交点为 $Q(2t,2t)$. 直线 $x=0$ 与 $y=x$ 的交点为原点 $O$，故所围三角形为 $△OPQ$. 以 $OP$ 为底，点 $Q$ 到 $x=0$ 的距离为高，得 $S_{△OPQ}=\frac{1}{2}\left|\frac{6}{t}\right|\cdot |2t|=6.$ 故三角形面积为定值 $6$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的切线方程与定值问题

核心方法：$f(2)=\frac{1}{2}$、$f^{\prime }(2)=\frac{7}{4}$ 得 $a=1,b=3$；切线围成三角形面积恒为 $6$

避坑指南：由切线方程同时读出切点纵坐标与斜率，列 $f(2)$、$f^{\prime }(2)$ 两个方程；任一点切线整理成 $y=\left(1+\frac{3}{t^2}\right)x-\frac{6}{t}$，与 $x=0$、$y=x$ 交点求面积。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数切线题是导数板块的经典题，2009 北京文第 18 题、2010 新课标Ⅰ文第 21 题同型。

结论推广：切线方程 $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$；切点既在曲线上又在切线上，提供”函数值+导数值”双方程。

方法推广：把切线方程化成斜截式，读出斜率和截距；求交点、算面积时保持符号清晰，$t$ 的绝对值可约去。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线
• 2010-广东卷文-21 解-导数切线距离比
• 2009-天津卷文-21 解-导数零点恒成立